Самостоятельная работа 16 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) 6+(-125)^(1/3); б) 9-1296^(1/4); в) 4^(1/5)·8^(1/5);
г) 80^(1/4)/5^(1/4); д) (9^(1/3)-7^(1/3))(81^(1/3)+63^(1/3)+49^(1/3)).
2. Упростите выражение:
а) (v3-v2)/(3^(1/4)+2^(1/4)); б) 19/(100^(1/3)-90^(1/3)+81^(1/3))-10^(1/3)-9^(1/3).
3. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) 56^(1/3); б) (625a^4 b)^(1/4), если a > 0; в) (32x^4 y^5)^(1/4), если x < 0. 4. Внесите множитель под знак корня: а) 5 2^(1/3); б) 2b(3a)^(1/4), если b > 0; в) 3y(2x)^(1/4), если y < 0.

1. Вычислим значения:

   а) $$6+(-125)^{1/3}=6-\sqrt[3]{125}=6-5=1;$$

   б) $$9-1296^{1/4}=9-\sqrt[4]{1296}=9-6=3;$$

   в) $$4^{1/5}\cdot 8^{1/5}=(4\cdot 8)^{1/5}=32^{1/5}=(2^5)^{1/5}=2;$$

   г) $$\frac{80^{1/4}}{5^{1/4}}=\left(\frac{80}{5}\right)^{1/4}=16^{1/4}=2;$$

   д) $$(9^{1/3}-7^{1/3})(81^{1/3}+63^{1/3}+49^{1/3})$$
   
   $$=(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{7})(\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{63}+\sqrt[3]{49})$$
   
   $$=9-7=2.$$

2. Упростим выражение:

   а) $$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{2}}$$
   
   Обозначим $$a=\sqrt[4]{3},\ b=\sqrt[4]{2}.$$ Тогда $$\sqrt{3}=a^2,\ \sqrt{2}=b^2,$$ и
   $$\frac{a^2-b^2}{a+b}=\frac{(a-b)(a+b)}{a+b}=a-b=\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2}.$$

   б) $$\frac{19}{\sqrt[3]{100}-\sqrt[3]{90}+\sqrt[3]{81}}-\sqrt[3]{10}-\sqrt[3]{9}$$
   
   Так как $$\sqrt[3]{100}=\sqrt[3]{10\cdot 10},\ \sqrt[3]{90}=\sqrt[3]{10\cdot 9},\ \sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{9\cdot 9},$$
   то
   $$\sqrt[3]{100}-\sqrt[3]{90}+\sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{10}^2-\sqrt[3]{10}\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{9}^2.$$
   По формуле
   $$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$$
   при $$a=\sqrt[3]{10},\ b=\sqrt[3]{9}$$ получаем:
   $$\frac{19}{\sqrt[3]{100}-\sqrt[3]{90}+\sqrt[3]{81}}=\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{9}.$$
   Тогда
   $$\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{10}-\sqrt[3]{9}=0.$$

3. Вынесем множитель из-под знака корня:

   а) $$\sqrt[3]{56}=\sqrt[3]{8\cdot 7}=2\sqrt[3]{7};$$

   б) $$\sqrt[4]{625a^4b}=\sqrt[4]{5^4a^4b}=5|a|\sqrt[4]{b}.$$
   Так как $$a>0,$$ то $$|a|=a,$$ значит
   $$\sqrt[4]{625a^4b}=5a\sqrt[4]{b};$$

   в) $$\sqrt[4]{32x^4y^5}=\sqrt[4]{2^5x^4y^4\cdot y}=\sqrt[4]{(2x)^4y^4\cdot 2y}.$$
   Так как $$x<0,$$ то $$\sqrt[4]{x^4}=|x|=-x,$$ поэтому
   $$\sqrt[4]{32x^4y^5}=-2xy\sqrt[4]{2y}.$$

4. Внесём множитель под знак корня:

   а) $$5\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{5^3\cdot 2}=\sqrt[3]{250};$$

   б) $$2b\sqrt[4]{3a}=\sqrt[4]{(2b)^4\cdot 3a}=\sqrt[4]{48ab^4},$$
   так как $$b>0;$$

   в) $$3y\sqrt[4]{2x}=\sqrt[4]{(3y)^4\cdot 2x}=\sqrt[4]{162xy^4}.$$
   Так как $$y<0,$$ то $$3y=-|3y|,$$ следовательно
   $$3y\sqrt[4]{2x}=-\sqrt[4]{162xy^4}.$$

Ответ

1) а) $$1$$; б) $$3$$; в) $$2$$; г) $$2$$; д) $$2$$.
2) а) $$\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2}$$; б) $$0$$.
3) а) $$2\sqrt[3]{7}$$; б) $$5a\sqrt[4]{b}$$; в) $$-2xy\sqrt[4]{2y}$$.
4) а) $$\sqrt[3]{250}$$; б) $$\sqrt[4]{48ab^4}$$; в) $$-\sqrt[4]{162xy^4}$$.