Самостоятельная работа 15 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
2. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение x^2+(2a-1)x+4=0 имеет два различных корня, меньших -1.
3. Найдите все значения а, при каждом из которых не имеет решений система неравенств {x^2-(4a-4)x+4a^2-8a?0, |5x-2a| < 4}.
4. Найдите все значения а, при каждом из которых один из корней уравнения x^2-(4a-6)x+3a^2-10a+8=0 отрицательный, а другой заключен между числами -1 и -2.
Чтобы любое действительное число $$x$$ было решением неравенства
$$x^2+(2a-3)x+\frac a4 \ge 0,$$
достаточно, чтобы квадратный трёхчлен не имел отрицательных значений. Так как старший коэффициент положителен, нужно и достаточно:
$$D \le 0.$$
Найдём дискриминант:
$$ D=(2a-3)^2-4\cdot \frac a4 =4a^2-12a+9-a =4a^2-13a+9. $$
Решим неравенство:
$$ 4a^2-13a+9 \le 0. $$
Корни соответствующего уравнения:
$$ D_a=13^2-4\cdot 4\cdot 9=169-144=25, $$
$$ a_{1,2}=\frac{13\pm 5}{8}. $$
Отсюда
$$a_1=1,\qquad a_2=\frac94.$$
Так как коэффициент при $$a^2$$ положителен, то
$$1 \le a \le \frac94.$$
Уравнение
$$x^2+(2a-1)x+4=0$$
имеет два различных корня, меньших $$-1$$.
Для этого нужно:
1) $$D>0$$;
2) оба корня меньше $$-1$$.
Найдём дискриминант:
$$ D=(2a-1)^2-16=4a^2-4a-15. $$
Тогда
$$ 4a^2-4a-15>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \left(a+\frac32\right)\left(a-\frac52\right)>0, $$
то есть
$$a<-\frac32 \quad \text{или} \quad a>\frac52.$$
Чтобы оба корня были меньше $$-1$$, достаточно, чтобы значение многочлена в точке $$x=-1$$ было положительным и вершина параболы лежала левее $$-1$$:
$$ f(-1)=1-(2a-1)+4=6-2a>0, $$
откуда $$a<3$$;
$$ x_0=-\frac{2a-1}{2}<-1, $$
откуда $$a>\frac32.$$
Совмещая условия, получаем:
$$\frac52<a<3.$$
Система не имеет решений:
$$ \begin{cases} x^2-(4a-4)x+4a^2-8a \le 0,\\ |5x-2a|<4. \end{cases} $$
Рассмотрим первое неравенство. Его дискриминант:
$$ D=(4a-4)^2-4(4a^2-8a)=16. $$
Корни:
$$ x_1=\frac{4a-4+4}{2}=2a,\qquad x_2=\frac{4a-4-4}{2}=2a-4. $$
Значит,
$$2a-4 \le x \le 2a.$$
Второе неравенство равносильно:
$$ -4<5x-2a<4, $$
то есть
$$ \frac{2a-4}{5}<x<\frac{2a+4}{5}. $$
Чтобы система не имела решений, отрезок $$[2a-4;\,2a]$$ не должен пересекаться с интервалом $$\left(\frac{2a-4}{5};\,\frac{2a+4}{5}\right)$$.
Это возможно в двух случаях:
$$ 2a \le \frac{2a-4}{5} \quad \text{или} \quad 2a-4 \ge \frac{2a+4}{5}. $$
Решаем:
$$ 10a \le 2a-4 \Rightarrow 8a \le -4 \Rightarrow a \le -\frac12, $$
$$ 10a-20 \ge 2a+4 \Rightarrow 8a \ge 24 \Rightarrow a \ge 3. $$
Следовательно,
$$a \in \left(-\infty;\,-\frac12\right] \cup [3;\,+\infty).$$
Пусть корни уравнения
$$x^2-(4a-6)x+3a^2-10a+8=0$$
равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Найдём их:
$$ D=(4a-6)^2-4(3a^2-10a+8) = (2a-2)^2. $$
Тогда
$$ x_1=\frac{4a-6+(2a-2)}{2}=3a-4,\qquad x_2=\frac{4a-6-(2a-2)}{2}=a-2. $$
Требуется, чтобы один корень был отрицательным, а другой лежал между $$-2$$ и $$-1$$.
1) Первый корень отрицателен, второй между $$-2$$ и $$-1$$:
$$ 3a-4<0,\qquad -2<a-2<-1. $$
Отсюда
$$ a<\frac43,\qquad 0<a<1. $$
Получаем $$0<a<1$$.
2) Второй корень отрицателен, первый между $$-2$$ и $$-1$$:
$$ a-2<0,\qquad -2<3a-4<-1. $$
Отсюда
$$ a<2,\qquad \frac23<a<1. $$
Получаем $$\frac23<a<1$$.
Объединяя оба случая, имеем:
$$0<a<1.$$
Ответ
1) $$\left[1;\frac94\right]$$
2) $$\left(\frac52;3\right)$$
3) $$\left(-\infty;-\frac12\right] \cup [3;+\infty)$$
4) $$\left(0;1\right)$$
