Самостоятельная работа 14 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
а) 4v(5x-1)=7-20x;
б) (vx+2)/(vx-2)-(vx-1)/vx=-3/2;
в) v((2x+1)/(x-2))-3v((x-2)/(2x+1))+2=0.
2. Решите неравенство:
а) 4v(x+5) < x+8;
б) (3x-1)/(2x+1)+v((3x-1)/(2x+1))-6?0;
в) v((8x-11)/(x-2))-6v((x-2)/(8x-11))+1?0.
а) $$4\sqrt{5x-1}=7-20x.$$
Положим $$y=5x-1,$$ тогда $$x=\frac{y+1}{5}$$ и
$$4\sqrt{y}=7-4(y+1)=3-4y.$$
Получаем уравнение
$$4\sqrt{y}+4y-3=0.$$
Пусть $$t=\sqrt{y}\ge 0,$$ тогда $$y=t^2$$ и
$$4t+4t^2-3=0.$$
$$D=4^2-4\cdot 4\cdot(-3)=16+48=64,$$
$$t_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{8}.$$
Отсюда $$t_1=\frac12$$, $$t_2=-\frac32$$, но подходит только $$t=\frac12.$$
Тогда $$y=t^2=\frac14,$$ значит
$$5x-1=\frac14,\qquad 5x=\frac54,\qquad x=\frac14.$$
б) $$\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}=-\frac32.$$
Положим $$y=\sqrt{x},\quad y\ge 0,\quad y\ne 2.$$ Тогда
$$\frac{y+2}{y-2}-\frac{y-1}{y}=-\frac32.$$
Умножим на $$2y(y-2):$$
$$2y(y+2)-2(y-1)(y-2)=-3y(y-2).$$
$$2y^2+4y-2y^2+6y-4=-3y^2+6y,$$
$$3y^2+4y-4=0.$$
$$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-4)=16+48=64,$$
$$y_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{6}.$$
Получаем $$y_1=-2$$, $$y_2=\frac23.$$ Так как $$y\ge 0,$$ подходит только $$y=\frac23.$$
Тогда
$$x=y^2=\frac49.$$
в) $$\sqrt{\frac{2x+1}{x-2}}-3\sqrt{\frac{x-2}{2x+1}}+2=0.$$
Положим
$$y=\sqrt{\frac{2x+1}{x-2}},\quad y>0.$$
Тогда
$$\sqrt{\frac{x-2}{2x+1}}=\frac1y,$$ и уравнение принимает вид
$$y-\frac3y+2=0.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2+2y-3=0.$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16,$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}.$$
Получаем $$y_1=-3$$, $$y_2=1.$$ Так как $$y>0,$$ то $$y=1.$$
Следовательно,
$$\sqrt{\frac{2x+1}{x-2}}=1,\qquad \frac{2x+1}{x-2}=1,$$
$$2x+1=x-2,\qquad x=-3.$$
а) $$4\sqrt{x+5}<x+8.$$
Положим $$y=x+5,$$ тогда $$y\ge 0$$ и $$x+8=y+3.$$ Получаем
$$4\sqrt{y}<y+3.$$
Пусть $$t=\sqrt{y}\ge 0,$$ тогда
$$4t<t^2+3,$$
$$t^2-4t+3>0,$$
$$ (t-1)(t-3)>0.$$
Отсюда $$t<1$$ или $$t>3.$$
Так как $$t=\sqrt{x+5},$$ получаем:
$$\sqrt{x+5}<1 \Rightarrow x+5<1 \Rightarrow x<-4,$$
$$\sqrt{x+5}>3 \Rightarrow x+5>9 \Rightarrow x>4.$$
С учётом области определения $$x\ge -5$$:
$$x\in[-5;-4)\cup(4;+\infty).$$
б) $$\frac{3x-1}{2x+1}+\sqrt{\frac{3x-1}{2x+1}}-6\le 0.$$
Положим
$$y=\sqrt{\frac{3x-1}{2x+1}},\quad y\ge 0.$$
Тогда
$$y^2+y-6\le 0,$$
$$ (y+3)(y-2)\le 0,$$
откуда $$0\le y\le 2.$$
Значит,
$$0\le \frac{3x-1}{2x+1}\le 4.$$
Решаем систему:
$$\frac{3x-1}{2x+1}\ge 0 \Rightarrow x<-\frac12 \ \text{или}\ x\ge \frac13,$$
$$\frac{3x-1}{2x+1}\le 4 \Rightarrow \frac{5x+5}{2x+1}\ge 0 \Rightarrow x\le -1 \ \text{или}\ x>-\frac12.$$
Пересечение даёт
$$x\in(-\infty;-1]\cup\left[\frac13;+\infty\right).$$
в) $$\sqrt{\frac{8x-11}{x-2}}-6\sqrt{\frac{x-2}{8x-11}}+1\le 0.$$
Положим
$$y=\sqrt{\frac{8x-11}{x-2}},\quad y>0.$$
Тогда
$$y-\frac6y+1\le 0,$$
$$y^2+y-6\le 0,$$
$$ (y+3)(y-2)\le 0,$$
откуда $$0<y\le 2.$$
Следовательно,
$$0<\frac{8x-11}{x-2}\le 4.$$
Из неравенства $$\frac{8x-11}{x-2}>0$$ получаем
$$x<\frac{11}{8}\ \text{или}\ x>2.$$
Из неравенства $$\frac{8x-11}{x-2}\le 4$$ имеем
$$\frac{(8x-11)-4(x-2)}{x-2}\le 0,$$
$$\frac{4x-3}{x-2}\le 0,$$
откуда
$$\frac34\le x<2.$$
Пересечение условий:
$$x\in\left[\frac34;\frac{11}{8}\right).$$
Ответ
1) а) $$\frac14$$; б) $$\frac49$$; в) $$-3$$.
2) а) $$[-5;-4)\cup(4;+\infty)$$; б) $$(-\infty;-1]\cup\left[\frac13;+\infty\right)$$; в) $$\left[\frac34;\frac{11}{8}\right).$$
