Самостоятельная работа 13 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. (x^2-2x)^2-2(x-1)^2-1 < 0. 2. (x-1)(x+2)^2 (x+5)?-8. 3. x^2-2x-4+4/(x-1)^2?0.
$$\left(x^2-2x\right)^2-2(x-1)^2-1<0$$
Положим $$y=x^2-2x.$$ Тогда $$x^2-2x+1=(x-1)^2=y+1,$$ и неравенство принимает вид
$$y^2-2(y+1)-1<0,$$
$$y^2-2y-3<0,$$
$$\left(y+1\right)\left(y-3\right)<0,$$
откуда $$-1<y<3.$$
Теперь решаем два неравенства:
$$-1<x^2-2x<3.$$
1) $$x^2-2x>-1,$$
$$x^2-2x+1>0,$$
$$\left(x-1\right)^2>0,$$
значит, $$x\ne 1.$$
2) $$x^2-2x<3,$$
$$x^2-2x-3<0,$$
$$\left(x+1\right)\left(x-3\right)<0,$$
откуда $$-1<x<3.$$
С учётом $$x\ne 1$$ получаем
$$x\in(-1;1)\cup(1;3).$$
$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)^2\left(x+5\right)\ge -8$$
Преобразуем:
$$\left(x^2+4x-5\right)\left(x^2+4x+4\right)\ge -8.$$
Положим $$y=x^2+4x.$$ Тогда
$$\left(y-5\right)\left(y+4\right)\ge -8,$$
$$y^2-y-20\ge -8,$$
$$y^2-y-12\ge 0,$$
$$\left(y-4\right)\left(y+3\right)\ge 0,$$
откуда $$y\le -3$$ или $$y\ge 4.$$
Рассмотрим оба случая.
1) $$x^2+4x\le -3,$$
$$x^2+4x+3\le 0,$$
$$\left(x+1\right)\left(x+3\right)\le 0,$$
значит, $$x\in[-3;-1].$$
2) $$x^2+4x\ge 4,$$
$$x^2+4x-4\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-4)=32,$$
$$x=\frac{-4\pm\sqrt{32}}{2}=-2\pm 2\sqrt2.$$
Тогда
$$x\le -2-2\sqrt2 \quad \text{или} \quad x\ge -2+2\sqrt2.$$
Итак,
$$x\in(-\infty;-2-2\sqrt2]\cup[-3;-1]\cup[-2+2\sqrt2;+\infty).$$
$$x^2-2x-4+\frac{4}{(x-1)^2}\ge 0$$
ОДЗ: $$x\ne 1.$$ Положим $$y=x^2-2x.$$ Тогда $$ (x-1)^2=y+1,$$ и получаем
$$y-4+\frac{4}{y+1}\ge 0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(y-4)(y+1)+4}{y+1}\ge 0,$$
$$\frac{y^2-3y}{y+1}\ge 0,$$
$$\frac{y(y-3)}{y+1}\ge 0.$$
Решаем методом интервалов:
$$y\in(-\infty;-1)\cup[0;3].$$
Теперь возвращаемся к $$y=x^2-2x.$$
1) $$x^2-2x<-1,$$
$$x^2-2x+1<0,$$
$$\left(x-1\right)^2<0,$$
решений нет.
2) $$0\le x^2-2x\le 3.$$
Из $$x^2-2x\ge 0$$ получаем
$$x(x-2)\ge 0,$$
то есть $$x\in(-\infty;0]\cup[2;+\infty).$$
Из $$x^2-2x\le 3$$ получаем
$$x^2-2x-3\le 0,$$
$$\left(x+1\right)\left(x-3\right)\le 0,$$
то есть $$x\in[-1;3].$$
Пересечение даёт
$$x\in[-1;0]\cup[2;3].$$
С учётом ОДЗ $$x\ne 1$$ окончательно
$$x\in(-\infty;-1]\cup[0;1)\cup(1;2]\cup[3;+\infty).$$
Ответ
1) $$(-1;1)\cup(1;3)$$
2) $$(-\infty;-2-2\sqrt2]\cup[-3;-1]\cup[-2+2\sqrt2;+\infty)$$
3) $$(-\infty;-1]\cup[0;1)\cup(1;2]\cup[3;+\infty)$$
