Самостоятельная работа 12 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. а) (x+2)(x+3)(x-4) > 0; б) (x+1)(x+2)^2/(x-3)?0.
2. а) (3x+1)/(x-3)?-1; б) (x-1)/(x-4)-3/(x+2)-9/(x^2-2x-8)?0.
3. Решите систему неравенств:
а) {x^2+x-12 < 0, x^2-x-2?0}; б) {x^2-2x-8?0, (x-4)/(x+3)?0}; в) {|x-1|?4, x^2+x-30?0}.

1. а) $$\,(x+2)(x+3)(x-4)>0.$$

   Нули выражения: $$x=-3,\,-2,\,4.$$

   Рассмотрим знаки на промежутках. Произведение трёх линейных множителей положительно на промежутках

   $$(-3;\,-2)\cup(4;\,+\infty).$$

   б) $$\frac{(x+1)(x+2)^2}{x-3}\le 0.$$

   Область определения: $$x\ne 3.$$

   Так как $$\,(x+2)^2\ge 0,$$ то знак дроби определяется выражением $$\frac{x+1}{x-3}.$$

   Критические точки: $$x=-2,\,-1,\,3.$$

   Проверка знаков даёт:

   $$\{-2\}\cup[-1;\,3).$$

2. а) $$\frac{3x+1}{x-3}\ge -1.$$

   Перенесём $$-1$$ в левую часть:

   $$\frac{3x+1}{x-3}+1\ge 0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{3x+1+x-3}{x-3}\ge 0,$$

   $$\frac{4x-2}{x-3}\ge 0.$$

   Критические точки: $$x=\frac12,\;x=3.$$

   Тогда

   $$(-\infty;\,0{,}5]\cup(3;\,+\infty).$$

   б) $$\frac{x-1}{x-4}-\frac{3}{x+2}-\frac{9}{x^2-2x-8}\ge 0.$$

   Разложим знаменатель:

   $$x^2-2x-8=(x-4)(x+2).$$

   Тогда

   $$\frac{x-1}{x-4}-\frac{3}{x+2}-\frac{9}{(x-4)(x+2)}\ge 0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(x-1)(x+2)-3(x-4)-9}{(x-4)(x+2)}\ge 0,$$

   $$\frac{x^2-2x+1}{(x-4)(x+2)}\ge 0,$$

   $$\frac{(x-1)^2}{(x-4)(x+2)}\ge 0.$$

   Так как $$\,(x-1)^2\ge 0,$$ то неравенство выполняется при положительном знаменателе и при $$x=1$$.

   Получаем:

   $$(-\infty;\,-2)\cup\{1\}\cup(4;\,+\infty).$$

3. а) $$\begin{cases} x^2+x-12<0,\\ x^2-x-2\ge 0 \end{cases}$$

   Решим каждое неравенство отдельно:

   $$x^2+x-12=(x+4)(x-3),$$

   $$ (x+4)(x-3)<0 \Rightarrow -4<x<3.$$

   $$x^2-x-2=(x+1)(x-2),$$

   $$ (x+1)(x-2)\ge 0 \Rightarrow x\le -1 \text{ или } x\ge 2.$$

   Пересечение решений:

   $$(-4;\,-1]\cup[2;\,3).$$

   б) $$\begin{cases} x^2-2x-8\ge 0,\\ \dfrac{x-4}{x+3}\le 0 \end{cases}$$

   Первое неравенство:

   $$x^2-2x-8=(x+2)(x-4),$$

   $$ (x+2)(x-4)\ge 0 \Rightarrow x\le -2 \text{ или } x\ge 4.$$

   Второе неравенство:

   $$\frac{x-4}{x+3}\le 0 \Rightarrow -3<x\le 4.$$

   Пересечение:

   $$(-3;\,-2]\cup\{4\}.$$

   в) $$\begin{cases} |x-1|\le 4,\\ x^2+x-30\ge 0 \end{cases}$$

   Из первого неравенства:

   $$-4\le x-1\le 4 \Rightarrow -3\le x\le 5.$$

   Из второго:

   $$x^2+x-30=(x+6)(x-5),$$

   $$ (x+6)(x-5)\ge 0 \Rightarrow x\le -6 \text{ или } x\ge 5.$$

   Пересечение:

   $$\{5\}.$$

Ответ

1) а) $$(-3;\,-2)\cup(4;\,+\infty)$$; б) $$\{-2\}\cup[-1;\,3)$$.
2) а) $$(-\infty;\,0{,}5]\cup(3;\,+\infty)$$; б) $$(-\infty;\,-2)\cup\{1\}\cup(4;\,+\infty)$$.
3) а) $$(-4;\,-1]\cup[2;\,3)$$; б) $$(-3;\,-2]\cup\{4\}$$; в) $$\{5\}$$.