Самостоятельная работа 19 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
а) Представьте переменную $$x_n=\frac{15n+2}{5n-1}$$ в виде суммы числа и бесконечно малой.
б) Чему равен $$\lim_{n\to+\infty}x_n$$?
Пользуясь свойствами пределов, вычислите пределы:
а) $$\lim_{n\to+\infty}\frac{7n+3}{5n-12}$$;
б) $$\lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2+n-10}{n^3+12n+20}$$;
в) $$\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{6n+5}{2n-3}+\frac{4n-1}{2n+3}\right)$$;
г) $$\lim_{n\to+\infty}\frac{-n^3+4n-10}{5n^2+n+21}$$;
д) $$\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2+11}\right)$$;
е) $$\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{3n}\right)^n$$.
а) Докажите, что переменная $$x_n=-\frac{11}{5n+12}$$ является бесконечно малой, пользуясь определением бесконечно малой (на языке «$$\varepsilon$$–$$N$$»).
б) Чему равен $$\lim_{n\to+\infty}x_n$$?
а) Преобразуем дробь:
$$x_n=\frac{15n+2}{5n-1}=3+\frac{5}{5n-1}.$$
Слагаемое $$\frac{5}{5n-1}$$ является бесконечно малой при $$n\to+\infty$$.
б) Тогда
$$\lim_{n\to+\infty} x_n=3.$$
Вычислим пределы:
а)
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{7n+3}{5n-12} =\lim_{n\to+\infty}\frac{7+\frac{3}{n}}{5-\frac{12}{n}} =\frac{7}{5}.$$
б)
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2+n-10}{n^3+12n+20} =\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}-\frac{10}{n^3}}{1+\frac{12}{n^2}+\frac{20}{n^3}} =0.$$
в)
$$\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{6n+5}{2n-3}+\frac{4n-1}{2n+3}\right) =\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{6+\frac{5}{n}}{2-\frac{3}{n}}+\frac{4-\frac{1}{n}}{2+\frac{3}{n}}\right) =3+2=5.$$
г)
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{-n^3+4n-10}{5n^2+n+21} =\lim_{n\to+\infty}\frac{-1+\frac{4}{n^2}-\frac{10}{n^3}}{\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{21}{n^3}} =-\infty.$$
д)
$$\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2+11}\right) =\lim_{n\to+\infty}\frac{(n^2+n)-(n^2+11)}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+11}}$$
$$=\lim_{n\to+\infty}\frac{n-11}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+11}} =\lim_{n\to+\infty}\frac{1-\frac{11}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{11}{n^2}}} =\frac12.$$
е)
$$\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{3n}\right)^n =\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{3n}\right)^{3n\cdot\frac13} =e^{1/3}.$$
а) Докажем, что $$x_n=-\frac{11}{5n+12}$$ — бесконечно малая последовательность.
Пусть $$\varepsilon>0$$. Нужно найти $$N$$ такое, что при $$n>N$$ выполняется
$$\left|x_n\right|=\left|\frac{-11}{5n+12}\right|=\frac{11}{5n+12}<\varepsilon.$$
Это равносильно неравенству
$$5n+12>\frac{11}{\varepsilon},$$
то есть
$$n>\frac{11}{5\varepsilon}-\frac{12}{5}.$$
Возьмём, например,
$$N=\frac{11}{5\varepsilon}-\frac{12}{5}.$$
Тогда при всех $$n>N$$ будет $$|x_n|<\varepsilon$$, значит, $$x_n$$ — бесконечно малая последовательность.
б)
$$\lim_{n\to+\infty}x_n=0.$$
Ответ
1) а) $$x_n=3+\frac{5}{5n-1}$$; б) $$3$$.
2) а) $$\frac75$$; б) $$0$$; в) $$5$$; г) $$-\infty$$; д) $$\frac12$$; е) $$e^{1/3}$$.
3) $$x_n=-\frac{11}{5n+12}$$ — бесконечно малая; $$\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=0$$.
