Самостоятельная работа 11 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) A(x)=5x^3-4x^2+8x-2, B(x)=x^2-2x+3;
б) A(x)=x^4+4x^3-7x^2-12x+24, B(x)=x^2-3x+2.
2. С помощью схемы Горнера разделите многочлен А(х) на многочлен В(х), укажите неполное частное Q(x) и остаток В(х), если A(x)=4x^4-13x^2+x, B(x)=x-2.
3. С помощью теоремы Безу определите остаток R(x) от деления многочлена А(х) на многочлен В(х), если:
а) A(x)=6x^3+5x^2-6x+16, B(x)=x+2;
б) A(x)=(x-2)^9, B(x)=x-1.
4. Многочлен P_3(x)=x^3+ax^2+bx-18 при делении на (x+2) дает в остатке 20, а на (x-3) делится без остатка. Определите коэффициенты a и b.
5. Решите уравнение:
а) 3x^3+4x^2-17x-6=0;
б) x^4+x^3-7x^2-x+6=0.

1. Выполним деление многочленов.

   а)

   $$5x^3-4x^2+8x-2=(x^2-2x+3)(5x+6)+(5x-20).$$

   Значит, $$Q(x)=5x+6,$$ $$R(x)=5x-20.$$

   б)

   $$x^4+4x^3-7x^2-12x+24=(x^2-3x+2)(x^2+7x+12)+10x.$$

   Значит, $$Q(x)=x^2+7x+12,$$ $$R(x)=10x.$$

2. Используем схему Горнера для деления на $$x-2$$.

   Коэффициенты многочлена $$4x^4-13x^2+x$$: $$4,\ 0,\ -13,\ 1,\ 0.$$

   Получаем коэффициенты частного: $$4,\ 8,\ 3,\ 7$$ и остаток $$14.$$

   Следовательно,
   $$Q(x)=4x^3+8x^2+3x+7,$$
   $$R=14.$$

3. По теореме Безу остаток при делении на $$x-a$$ равен значению многочлена при $$x=a$$.

   а)

   $$R=A(-2)=6(-2)^3+5(-2)^2-6(-2)+16=-48+20+12+16=0.$$

   б)

   $$R=A(1)=(1-2)^9=(-1)^9=-1.$$

4. Пусть $$P_3(x)=x^3+ax^2+bx-18.$$ Тогда:

   $$P_3(-2)=20,$$
   $$P_3(3)=0.$$

   Составим систему:
   $$ \begin{cases} -8+4a-2b-18=20,\\ 27+9a+3b-18=0. \end{cases} $$

   Упростим:
   $$ \begin{cases} 4a-2b=46,\\ 9a+3b=-9. \end{cases} $$

   Из первого уравнения:
   $$2a-b=23,$$
   $$b=2a-23.$$

   Подставим во второе:
   $$ 9a+3(2a-23)=-9 $$
   $$ 15a-69=-9 $$
   $$ 15a=60,\quad a=4. $$

   Тогда
   $$b=2\cdot 4-23=-15.$$

5. Решим уравнения разложением на множители.

   а)

   $$3x^3+4x^2-17x-6=0$$
   $$3x^2(x+? )$$

   Подбором корня получаем $$x=2$$, тогда
   $$ 3x^3+4x^2-17x-6=(x-2)(3x^2+10x+3). $$

   Решаем квадратное уравнение:
   $$ 3x^2+10x+3=0 $$
   $$ D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64. $$
   Тогда
   $$ x=\frac{-10\pm 8}{2\cdot 3}. $$

   Получаем:
   $$x_1=-3,\quad x_2=-\frac13.$$

   Итак, корни уравнения:
   $$x=-3,\ -\frac13,\ 2.$$

   б)

   $$x^4+x^3-7x^2-x+6=0.$$

   Подбором корней:
   $$x=1$$ и $$x=-1$$.

   Тогда
   $$ x^4+x^3-7x^2-x+6=(x+1)(x-1)(x^2+x-6). $$

   Разложим квадратный трёхчлен:
   $$ x^2+x-6=(x+3)(x-2). $$

   Значит,
   $$ (x+1)(x-1)(x+3)(x-2)=0. $$

   Корни:
   $$x=-3,\ -1,\ 1,\ 2.$$

Ответ

1) а) $$Q(x)=5x+6,$$ $$R(x)=5x-20$$; б) $$Q(x)=x^2+7x+12,$$ $$R(x)=10x$$.
2) $$Q(x)=4x^3+8x^2+3x+7,$$ $$R=14$$.
3) а) $$0$$; б) $$-1$$.
4) $$a=4,$$ $$b=-15$$.
5) а) $$x=-3,\ -\frac13,\ 2$$; б) $$x=-3,\ -1,\ 1,\ 2$$.