Итоговый тест Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1) 1/vb; 2) b^(1/6); 3) vb; 4) 1/b^(1/6).
А2. Упростите выражение (a^(2/3)-4)/(a^(1/3)-2)-a^(1/3).
1) -2; 2) a^(2/3); 3) 2; 4) a^(-2/3).
А3. Упростите выражение log(4; 48)-log(4; 3)+6^log(6; 5).
1) 9; 2) 7; 3) log(4; 3); 4) -log(4; 3).
А4. Решите неравенство (1/3)^(x-3) < 1/9.
1) (-?; -5); 2) (-1; +?); 3) (-?; -1); 4) (5; +?).
А5. Укажите промежуток возрастания функции y=f(x), заданной графиком (рис. 43).
1) [-3; 0]; 2) [-2; 2]; 3) [-4; 4]; 4) [0; 3].
А6. Упростите выражение 2sin^2(?/2)+cos(?)-1.
1) 2cos^2(?/2); 2) 2sin^2(?/2); 3) 0; 4) 2.
А7. Решите уравнение log(5; x)=-1.
1) v5; 2) 1/5; 3) 25; 4) 1/v5.
А8. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log(3; x+1)=2.
1) (7; 9); 2) (9; 11); 3) (4; 7); 4) (6; 8).
А9. Найдите область определения функции y=v((x+1)/(x-1)).
1) (-?; -1)?[1; +?); 2) (-?; -1)?(1; +?); 3) (-?; -1]?(1; +?); 4) [-1; 1).
А10. Решите неравенство 4^x?8.
1) [1,5; +?); 2) (-?; 1,5]; 3) [6; +?); 4) (-?; 6].
А11. Решите неравенство 3^(x+2)-3^x < 24.
1) (-?; -1); 2) (-?; 1); 3) (-1; +?); 4) (1; +?).
А12. Найдите произведение корней уравнения lg^2(x)+lg(x)-12=0.
1) -10; 2) 12; 3) -12; 4) 1/10.
А13. Решите уравнение 2sin^2(x)-3cos(x)=0.
1) ±?/3+2?m, m?Z; 2) (-1)^m•?/3+?m, m?Z;
3) ±?/6+2?m, m?Z; 4) ±?/3+?m, m?Z.
В1. Найдите сумму корней уравнения 1/(5•2^x-9)=1/(4^x-5).
В2. Найдите наибольшее целое решение неравенства
log(0,2; x+1,5)/(log(0,2; 100)-log(0,2; 4)) < 1.
В3. Вычислите ((5^(1/3)-2^(1/3))^2+4 10^(1/3))((5^(1/3)-2^(1/3))^2+10^(1/3))/(5^(1/3)+2^(1/3)).
В4. Сколько корней уравнения sin(x)-cos(x)=-v2 принадлежит промежутку [-2?; 2?]?
В5. На соревнованиях по кольцевой трассе первый велосипедист проходил круг на 5 мин медленнее второго и через час отстал от него на целый круг. За сколько минут второй велосипедист проходил один круг?
В6. Вычислите cos(?/3+?), если sin(?)=1/2 и 0 < ? < ?/2.
В7. Найдите значение выражения (1-cos(2?)+sin(2?))/(cos(?)-sin(2?-?)), если sin(?)=-1/2.
А1. $$b^{\frac13}:b^{-\frac16}=b^{\frac13-(-\frac16)}=b^{\frac12}=\sqrt{b}.$$
Ответ: 3.
А2. Обозначим $$t=a^{\frac13}.$$ Тогда
$$\frac{a^{\frac23}-4}{a^{\frac13}-2}-a^{\frac13}=\frac{t^2-4}{t-2}-t=\frac{(t-2)(t+2)}{t-2}-t=t+2-t=2.$$
Ответ: 3.
А3.
$$\log_4 48-\log_4 3+6^{\log_6 5}=\log_4\frac{48}{3}+5=\log_4 16+5=2+5=7.$$
Ответ: 2.
А4.
$$\left(\frac13\right)^{x-3}<\frac19=\left(\frac13\right)^2.$$
Так как основание $$\frac13<1,$$ получаем
$$x-3>2,\quad x>5.$$
Ответ: 4.
А5. По графику функция возрастает на промежутке $$[0;3].$$
Ответ: 4.
А6.
$$2\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos\alpha-1=2\sin^2\frac{\alpha}{2}+\left(1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)-1=0.$$
Ответ: 3.
А7.
$$\log_5 x=-1 \Rightarrow x=5^{-1}=\frac15.$$
Ответ: 2.
А8.
$$\log_3(x+1)=2 \Rightarrow x+1=3^2=9 \Rightarrow x=8.$$
Число $$8$$ принадлежит промежутку $$ (7;9). $$
Ответ: 1.
А9.
Для функции $$y=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$$ нужно, чтобы
$$\frac{x+1}{x-1}\ge 0,\quad x\ne 1.$$
Отсюда
$$D(y)=(-\infty;-1]\cup(1;+\infty).$$
Ответ: 3.
А10.
$$4^x\ge 8=2^3,\quad 4^x=2^{2x}.$$
Тогда
$$2^{2x}\ge 2^3 \Rightarrow 2x\ge 3 \Rightarrow x\ge \frac32.$$
Ответ: 1.
А11.
$$3^{x+2}-3^x<24,$$
$$9\cdot 3^x-3^x<24,$$
$$8\cdot 3^x<24,$$
$$3^x<3,$$
$$x<1.$$
Ответ: 2.
А12. Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда
$$y^2+y-12=0,$$
$$ (y-3)(y+4)=0,$$
$$y_1=3,\quad y_2=-4.$$
Следовательно,
$$x_1=10^3,\quad x_2=10^{-4},$$
и произведение корней равно
$$x_1x_2=10^{-1}=\frac{1}{10}.$$
Ответ: 4.
А13.
$$2\sin^2x-3\cos x=0,$$
$$2(1-\cos^2x)-3\cos x=0,$$
$$2\cos^2x+3\cos x-2=0.$$
Пусть $$t=\cos x.$$ Тогда
$$2t^2+3t-2=0,$$
$$D=25,\quad t_1=\frac12,\quad t_2=-2.$$
Так как $$|\cos x|\le 1,$$ подходит только $$\cos x=\frac12.$$
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ: 1.
В1.
$$\frac{1}{5\cdot 2^x-9}=\frac{1}{4^x-5}.$$
Тогда
$$5\cdot 2^x-9=4^x-5.$$
Положим $$y=2^x,$$ тогда $$4^x=y^2.$$ Получаем
$$y^2-5y+4=0,$$
$$ (y-1)(y-4)=0,$$
$$y_1=1,\quad y_2=4.$$
Значит,
$$2^x=1 \Rightarrow x_1=0,\qquad 2^x=4 \Rightarrow x_2=2.$$
Сумма корней:
$$x_1+x_2=2.$$
В2.
$$\frac{\log_{0,2}(x+1,5)}{\log_{0,2}100-\log_{0,2}4}<1.$$
Так как
$$\log_{0,2}100-\log_{0,2}4=\log_{0,2}\frac{100}{4}=\log_{0,2}25<0,$$
при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется:
$$\log_{0,2}(x+1,5)>\log_{0,2}25.$$
Так как основание $$0,2<1,$$ получаем
$$0<x+1,5<25,$$
$$-1,5<x<23,5.$$
Наибольшее целое решение: $$23.$$
В3.
Обозначим $$a=\sqrt[3]{5},\; b=\sqrt[3]{2}.$$ Тогда $$ab=\sqrt[3]{10}.$$
После преобразований:
$$\frac{\left(a-b\right)^2+4\sqrt[3]{10}}{a+b}\cdot\left(\left(a-b\right)^2+\sqrt[3]{10}\right)=7.$$
В4.
$$\sin x-\cos x=-\sqrt2.$$
Представим левую часть так:
$$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt2,$$
$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$
Отсюда
$$x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
На отрезке $$[-2\pi;2\pi]$$ подходят два значения, значит корней $$2.$$
В5.
Пусть второй велосипедист проходит круг за $$x$$ минут, тогда первый — за $$x+5$$ минут. За 60 минут они проедут соответственно
$$\frac{60}{x}\quad \text{и}\quad \frac{60}{x+5}$$
кругов, причём первый отстанет на 1 круг:
$$\frac{60}{x}=\frac{60}{x+5}+1.$$
Решаем:
$$60(x+5)=60x+x(x+5),$$
$$x^2+5x-300=0,$$
$$D=25+1200=1225=35^2,$$
$$x=\frac{-5+35}{2}=15.$$
Значит, второй велосипедист проходил круг за $$15$$ минут.
В6.
Если $$\sin\alpha=\frac12$$ и $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то $$\alpha=\frac{\pi}{6}.$$ Тогда
$$\cos\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{2}=0.$$
В7.
При $$\sin\alpha=-\frac12$$ имеем
$$A=\frac{1-\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}{\cos\alpha-\sin(2\pi-\alpha)}.$$
Используем формулы:
$$1-\cos 2\alpha=2\sin^2\alpha,\qquad \sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha.$$
Тогда
$$A=\frac{2\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}=\frac{2\sin\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}{\sin\alpha+\cos\alpha}=2\sin\alpha=-1.$$
Ответ
А1 — 3; А2 — 3; А3 — 2; А4 — 4; А5 — 4; А6 — 3; А7 — 2; А8 — 1; А9 — 3; А10 — 1; А11 — 2; А12 — 4; А13 — 1; В1 — 2; В2 — 23; В3 — 7; В4 — 2; В5 — 15; В6 — 0; В7 — -1.
