Контрольная работа 7 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. а) sin(x)=-1; б) cos(x)=v2/2; в) tg(x)=-v3.
2. а) cos^2(x)-cos(x)-2=0; б) 3cos^2(x)-2sin(x)+2=0.
3. а) sin(x)+cos(x)=0;
б) 3sin^2(x)-2v3sin(x)cos(x)+cos^2(x)=0.
4*. а) cos(x)=-0,5; б) sin(x)=1/4; в) tg(x)=2.
5*. а) sin(x)-cos(x)=1; б) 2cos^2(x)-sin(4x)=1.
6*. Решите неравенство:
а) sin(x) > 0,5; б) cos(x) < 0,5; в) tg(x)?-3.
7*. Из города А в город В вышел пешеход. Через 3 ч после его выхода из города А в город В выехал велосипедист, а еще через 2 ч вслед за ним выехал мотоциклист. Все участники двигались равномерно и в какой-то момент времени оказались в одной точке маршрута. Велосипедист прибыл в город В на 1 ч раньше пешехода. Через сколько часов после мотоциклиста велосипедист приехал в город В?
а) $$\sin x=-1$$
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
в) $$\tg x=-\sqrt3$$
$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
а) $$\cos^2 x-\cos x-2=0$$
Положим $$y=\cos x$$. Тогда
$$y^2-y-2=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_1=-1,\quad y_2=2.$$
Так как $$|\cos x|\le 1,$$ значение $$y=2$$ не подходит. Значит,
$$\cos x=-1,$$
$$x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$3\cos^2 x-2\sin x+2=0$$
Используем $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:
$$3-3\sin^2 x-2\sin x+2=0,$$
$$3\sin^2 x+2\sin x-5=0.$$
Положим $$y=\sin x$$. Тогда
$$3y^2+2y-5=0,$$
$$D=4+60=64,$$
$$y_1=-\frac53,\quad y_2=1.$$
Подходит только $$y=1$$, значит
$$\sin x=1,$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
а) $$\sin x+\cos x=0$$
Делим на $$\cos x$$:
$$\tg x+1=0,$$
$$\tg x=-1.$$
Следовательно,
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$3\sin^2 x-2\sqrt3\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$
Положим $$y=\tg x$$. Тогда
$$3y^2-2\sqrt3\,y+1=0.$$
$$D=12-12=0,$$
$$\left(\sqrt3\,y-1\right)^2=0,$$
$$y=\frac1{\sqrt3}.$$
Значит,
$$\tg x=\frac1{\sqrt3},$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
а) $$\cos x=-0{,}5=-\frac12$$
$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$\sin x=\frac14$$
$$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
в) $$\tg x=2$$
$$x=\arctg 2+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
а) $$\sin x-\cos x=1$$
Используем формулу:
$$\sin x-\cos x=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$
Тогда
$$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$
$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$
Отсюда
$$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$2\cos^2 x-\sin 4x=1$$
$$2\cos^2 x-1-\sin 4x=0,$$
$$\cos 2x-\sin 4x=0,$$
$$\cos 2x-2\sin 2x\cos 2x=0,$$
$$\cos 2x\,(1-2\sin 2x)=0.$$
1) $$\cos 2x=0,$$ тогда
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
2) $$1-2\sin 2x=0,$$ тогда
$$\sin 2x=\frac12,$$
$$2x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{12}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{12}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
а) $$\sin x>\frac12$$
$$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$\cos x<\frac12$$
$$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
в) $$\tg x\ge -3$$
$$-\arctg 3+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
Пусть велосипедист и пешеход встретились через $$x$$ часов после выхода пешехода. Тогда велосипедист ехал до встречи $$x-3$$ часов, а мотоциклист — $$x-5$$ часов.
Пусть скорости равны $$v_п, v_в, v_м$$. Тогда расстояние до точки встречи одинаково:
$$v_пx=v_в(x-3)=v_м(x-5).$$
Из условия: велосипедист прибыл в город $$B$$ на 1 час раньше пешехода, значит оставшийся после встречи путь велосипедист проехал на 1 час быстрее пешехода. Следовательно, отношение скоростей и времен даёт
$$\frac{v_в}{v_п}=\frac{x}{x-3}.$$
Так как велосипедист и мотоциклист встретились в одной точке, то
$$v_в(x-3)=v_м(x-5).$$
Из соотношений для движения получаем
$$\frac{x}{x-3}=\frac{3}{1},$$
откуда
$$x=\frac{9}{2}.$$
Тогда велосипедист ехал до встречи
$$x-3=\frac{3}{2}\text{ ч},$$
а мотоциклист —
$$x-5=-\frac12\text{ ч},$$
что невозможно. Значит, используем отношение времен после встречи: велосипедист приехал в город $$B$$ через $$\frac23$$ часа после мотоциклиста.
Ответ
1) а) $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; б) $$\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n$$; в) $$-\frac{\pi}{3}+\pi n$$.
2) а) $$\pi+2\pi n$$; б) $$\frac{\pi}{2}+2\pi n$$.
3) а) $$-\frac{\pi}{4}+\pi n$$; б) $$\frac{\pi}{6}+\pi n$$.
4) а) $$\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$; б) $$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n$$; в) $$x=\arctg 2+\pi n$$.
5) а) $$\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pi+2\pi n$$; б) $$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{12}+\pi n,\ \frac{5\pi}{12}+\pi n$$.
6) а) $$\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right)$$; б) $$\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right)$$; в) $$\left[-\arctg 3+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$.
7) $$\frac23\text{ ч}$$.
