Контрольная работа 6 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) sin(?-?)+2sin(?)cos(?), если ?+?=?;
б) cos^2(?)+sin(?/2+?)cos(?-?)/(ctg(?-?)tg(3?/2-?)), ???n/2, n?Z.
2. Вычислите cos(2005°)cos(1960°)+sin(1960°)sin(2005°).
3. Известно, что cos(?)=-0,6, ?/2 < ? < ?. Вычислите: а) sin(?); б) sin(2?); в) cos(2?). 4. Постройте график функции y=sin(7x)cos(6x)-sin(6x)cos(7x). 5*. Вычислите sin(10°)+2sin(25°)cos(35°). 6*. Докажите справедливость равенства sin(51°)cos(39°)-sin(21°)cos(9°)=1/4. 7*. Велосипедист выехал из города А в город В. Через час после этого навстречу ему выехал мотоциклист из города В в город А. Через час после своего выезда мотоциклист встретился с велосипедистом, а через 0,5 ч после встречи прибыл в город А. Сколько времени был в пути велосипедист?

1. а)

   $$A=\sin(\alpha-\beta)+2\sin\beta\cos\alpha,$$
   где $$\alpha+\beta=\pi.$$ Тогда

   $$ A=(\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha)+2\sin\beta\cos\alpha $$
   $$ A=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha=\sin(\alpha+\beta)=\sin\pi=0. $$

   б)

   $$B=\cos^2\alpha+\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\cos(\pi-\alpha)}{\ctg(\pi-\alpha)\tg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)}.$$

   Используем формулы:
   $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha,$$
   $$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha,$$
   $$\ctg(\pi-\alpha)=-\ctg\alpha,$$
   $$\tg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\ctg\alpha.$$

   Тогда
   $$ B=\cos^2\alpha+\frac{\cos\alpha\cdot(-\cos\alpha)}{(-\ctg\alpha)\cdot\ctg\alpha} =\cos^2\alpha+\frac{\cos^2\alpha}{\ctg^2\alpha}. $$

   Так как $$\ctg^2\alpha=\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha},$$ то
   $$ B=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1. $$

2. $$ \cos2005^\circ\cos1960^\circ+\sin1960^\circ\sin2005^\circ =\cos(2005^\circ-1960^\circ)=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}. $$

3. Дано: $$\cos\alpha=-0{,}6,\quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$ Тогда $$\sin\alpha>0.$$

   $$ \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-0{,}36}=\sqrt{0{,}64}=0{,}8. $$

   $$ \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot0{,}8\cdot(-0{,}6)=-0{,}96. $$

   $$ \cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\cdot0{,}36-1=-0{,}28. $$

4. $$ y=\sin7x\cos6x-\sin6x\cos7x=\sin(7x-6x)=\sin x. $$

   Значит, график данной функции совпадает с графиком $$y=\sin x$$.

5. $$ A=\sin10^\circ+2\sin25^\circ\cos35^\circ. $$

   По формуле произведения в сумму:
   $$ 2\sin25^\circ\cos35^\circ=\sin60^\circ-\sin10^\circ. $$

   Тогда
   $$ A=\sin10^\circ+\sin60^\circ-\sin10^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}. $$

6. $$ \sin51^\circ\cos39^\circ-\sin21^\circ\cos9^\circ =\frac{\sin90^\circ+\sin12^\circ}{2}-\frac{\sin30^\circ+\sin12^\circ}{2}. $$

   $$ =\frac{\sin90^\circ-\sin30^\circ}{2} =\frac{1-\frac12}{2} =\frac14. $$

7. Пусть $$x$$ км/ч — скорость мотоциклиста, $$y$$ км/ч — скорость велосипедиста.

   По условию мотоциклист ехал до встречи 1 час, а велосипедист — 2 часа, значит,
   $$ x\cdot1=y\cdot2, $$
   то есть
   $$ x=2y. $$

   После встречи мотоциклист ехал до города А ещё $$0{,}5$$ ч, а велосипедист — ещё $$4$$ ч. Следовательно, расстояния от места встречи до городов относятся как
   $$ 0{,}5x=4y. $$

   Подставим $$x=2y$$:
   $$ 0{,}5\cdot2y=4y \quad \Rightarrow \quad y=4y, $$
   откуда отношение времени движения до встречи:
   $$ \frac{x}{y}=4. $$

   Тогда велосипедист был в пути
   $$ 1+1+4=6 $$
   часов.

Ответ

1) а) $$0$$; б) $$1$$.
2) $$\frac{\sqrt2}{2}$$.
3) а) $$0{,}8$$; б) $$-0{,}96$$; в) $$-0{,}28$$.
4) $$y=\sin x$$.
5) $$\frac{\sqrt3}{2}$$.
6) $$\frac14$$.
7) $$6$$ ч.