Контрольная работа 5 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) v2sin(45°)-cos(30°)sin(60°)+ctg(45°)tg(135°)-tg(0°);
б) sin(?/3)+v2cos(?/4)-v3ctg(?/6).
2. Упростите выражение:
а) (1-sin(?))(1+sin(?))/cos(?), ???/2+?n, n?Z;
б) sin(?+?)+cos(2?+?)-sin(-?)-cos(-?).
3. Вычислите:
а) (sin(?)-cos(?))^2+2sin(?)cos(?);
б) tg(?)+ctg(?), если sin(?)cos(?)=0,2.
4. Найдите все такие углы ?, для каждого из которых выполняется равенство:
а) sin(?)=-v2/2; б) cos(?)=1/2; в) tg(?)=-v3; г) ctg(?)=1.
5*. Вычислите:
а) tg^2(?)+ctg^2(?), если tg(?)-ctg(?)=-3;
б) (6sin(?)+5cos(?))/(4sin(?)-3cos(?)), если tg(?)=3.
6*. Вычислите arcsin(0)-arccos(v2/2)-arctg(v3/3)/arcctg(v3).
7*. В пансионате в прошлом году отдыхали 700 мужчин и женщин и 100 детей. В этом году число мужчин уменьшилось на 10 %, а число женщин увеличилось на 10%, число детей увеличилось на 10. В результате общее число отдыхающих не изменилось. Сколько мужчин и сколько женщин отдыхало в пансионате в этом году?

1. $$\sqrt{2}\sin 45^\circ-\cos 30^\circ\sin 60^\circ+\ctg 45^\circ \tg 135^\circ-\tg 0^\circ$$

   $$=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+1\cdot(-1)-0$$

   $$=1-\frac{3}{4}-1=-\frac{3}{4}$$

   $$\sin \frac{\pi}{3}+\sqrt{2}\cos \frac{\pi}{4}-\sqrt{3}\ctg \frac{\pi}{6}$$

   $$=\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}$$

   $$=\frac{\sqrt{3}}{2}+1-3=\frac{\sqrt{3}-4}{2}$$

2. $$\frac{(1-\sin \alpha)(1+\sin \alpha)}{\cos \alpha}=\frac{1-\sin^2 \alpha}{\cos \alpha}=\frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha}=\cos \alpha$$

   $$\sin(\pi+\alpha)+\cos(2\pi+\alpha)-\sin(-\alpha)-\cos(-\alpha)$$

   $$=-\sin \alpha+\cos \alpha+\sin \alpha-\cos \alpha=0$$

3. $$\left(\sin \alpha-\cos \alpha\right)^2+2\sin \alpha \cos \alpha$$

   $$=\sin^2 \alpha-2\sin \alpha \cos \alpha+\cos^2 \alpha+2\sin \alpha \cos \alpha=1$$

   Если $$\sin \alpha \cos \alpha=0{,}2,$$ то

   $$\tg \alpha+\ctg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}=\frac{1}{0{,}2}=5$$

4. $$\sin \alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \text{ или } \alpha=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$

   $$\cos \alpha=\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$

   $$\tg \alpha=-\sqrt{3} \Rightarrow \alpha=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$

   $$\ctg \alpha=1 \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$

5. $$\tg^2 \alpha+\ctg^2 \alpha=(\tg \alpha-\ctg \alpha)^2+2\tg \alpha \ctg \alpha$$

   Так как $$\tg \alpha \ctg \alpha=1,$$ то

   $$\tg^2 \alpha+\ctg^2 \alpha=(-3)^2+2=11$$

   Если $$\tg \alpha=3,$$ то

   $$\frac{6\sin \alpha+5\cos \alpha}{4\sin \alpha-3\cos \alpha}=\frac{6\tg \alpha+5}{4\tg \alpha-3}$$

   $$=\frac{6\cdot 3+5}{4\cdot 3-3}=\frac{23}{9}$$

6. $$\arcsin 0-\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\arctg \frac{\sqrt{3}}{3}}{\arcctg \sqrt{3}}$$

   $$=0-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi/6}{\pi/6}=-\frac{\pi}{4}-1=-\frac{\pi+4}{4}$$

7. Пусть в прошлом году женщин было $$x$$, тогда мужчин было $$700-x$$. В этом году:

   $$1{,}1x+0{,}9(700-x)+110=800$$

   $$1{,}1x+630-0{,}9x+110=800$$

   $$0{,}2x=60,\quad x=300$$

   Значит, в прошлом году было $$300$$ женщин и $$400$$ мужчин. Тогда в этом году:

   $$300\cdot 1{,}1=330$$

   $$400\cdot 0{,}9=360$$

Ответ

1) а) $$-\frac{3}{4}$$; б) $$\frac{\sqrt{3}-4}{2}$$.

2) а) $$\cos \alpha$$; б) $$0$$.

3) а) $$1$$; б) $$5$$.

4) а) $$\alpha=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$$ или $$\alpha=\frac{5\pi}{4}+2\pi n$$; б) $$\alpha=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$$; в) $$\alpha=-\frac{\pi}{3}+\pi n$$; г) $$\alpha=\frac{\pi}{4}+\pi n$$, $$n\in \mathbb{Z}$$.

5) а) $$11$$; б) $$\frac{23}{9}$$.

6) $$-\frac{\pi+4}{4}$$.

7) $$360$$ мужчин, $$330$$ женщин.