Самостоятельная работа 9 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 2, 3, 4, 5, 6 (без повторения)?
3. Сколькими способами из 24 человек можно выбрать трех дежурных?
4. Сколькими способами из четырех мальчиков и пяти девочек можно выбрать дежурных — два мальчика и три девочки?
5. Вычислите: а) P(7); б) A(7; 4); в) C(12; 3).
6. Докажите, что для любых натуральных чисел k и n (1?k?n) справедливо равенство (k+1)·C(n+1; k+1)=(n+1)·C(n; k).

1. Шесть друзей могут занять шесть мест всеми возможными перестановками:
   $$P_6=6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720.$$
2. Трёхзначные числа составляются из 5 цифр без повторения, значит число таких чисел равно числу размещений:
   $$A_5^3=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=5\cdot4\cdot3=60.$$
3. Выбираем 3 дежурных из 24 человек:
   $$C_{24}^3=\frac{24!}{3!\cdot21!}=\frac{24\cdot23\cdot22}{3\cdot2\cdot1}=2024.$$
4. Сначала выбираем 2 мальчиков из 4, затем 3 девочек из 5:
   $$C_4^2\cdot C_5^3=\frac{4!}{2!\cdot2!}\cdot\frac{5!}{3!\cdot2!}=6\cdot10=60.$$
5. Вычислим:

   а)
   $$P_7=7!=5040;$$

   б)
   $$A_7^4=\frac{7!}{(7-4)!}=\frac{7!}{3!}=7\cdot6\cdot5\cdot4=840;$$

   в)
   $$C_{12}^3=\frac{12!}{3!\cdot9!}=\frac{12\cdot11\cdot10}{3\cdot2\cdot1}=220.$$

6. Докажем равенство:
   $$ (k+1)\cdot C_{n+1}^{k+1}=(n+1)\cdot C_n^k,\quad 1\le k\le n. $$

   По формуле сочетаний:
   $$ (k+1)\cdot C_{n+1}^{k+1}=(k+1)\cdot \frac{(n+1)!}{(k+1)!\,(n-k)!}. $$

   Сократим на $$(k+1)$$:
   $$ (k+1)\cdot C_{n+1}^{k+1}=\frac{(n+1)!}{k!\,(n-k)!}. $$

   Теперь преобразуем правую часть:
   $$ (n+1)\cdot C_n^k=(n+1)\cdot \frac{n!}{k!\,(n-k)!}=\frac{(n+1)!}{k!\,(n-k)!}. $$

   Левая и правая части равны, значит
   $$ (k+1)\cdot C_{n+1}^{k+1}=(n+1)\cdot C_n^k. $$

Ответ

1) 720; 2) 60; 3) 2024; 4) 60; 5) а) 5040, б) 840, в) 220; 6) равенство доказано.