Самостоятельная работа 8 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Докажите, что 5^(n+1)+2^(3n) делится на 3 для любого натурального числа n.
3. Докажите, что для любого натурального числа n справедливо равенство
1·3+2·5+…+n(2n+1)=n(4n^2+9n+5)/6.

1. Докажем формулу для $n$-го члена геометрической прогрессии методом математической индукции:
   $$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}.$$

   База индукции: при $n=1$ имеем

   $$a_1=a_1\cdot q^0=a_1.$$

   Формула верна.

   Индукционный переход: пусть для $n=k$ формула верна, то есть

   $$a_k=a_1\cdot q^{\,k-1}.$$

   Тогда

   $$a_{k+1}=a_k\cdot q=a_1\cdot q^{\,k-1}\cdot q=a_1\cdot q^{\,k}.$$

   Значит, формула верна и для $n=k+1$.

   Следовательно, для любого натурального $n$

   $$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}.$$

2. Докажем, что
   $$5^{n+1}+2^{3n}$$
   делится на $3$ при любом натуральном $n$.

   База индукции: при $n=1$

   $$5^2+2^3=25+8=33,$$

   а число $33$ делится на $3$.

   Индукционный переход: пусть для $n=k$ выражение делится на $3$, то есть

   $$5^{k+1}+2^{3k}\equiv 0 \pmod 3.$$

   Рассмотрим случай $n=k+1$:

   $$5^{k+2}+2^{3k+3}=5\cdot 5^{k+1}+8\cdot 2^{3k}.$$

   Так как $8=6+2$, то

   $$5^{k+2}+2^{3k+3}=5\bigl(5^{k+1}+2^{3k}\bigr)+3\cdot 2^{3k}.$$

   Первое слагаемое делится на $3$ по предположению индукции, второе тоже делится на $3$. Значит, всё выражение делится на $3$.

   Следовательно, для любого натурального $n$ число $5^{n+1}+2^{3n}$ делится на $3$.

3. Докажем равенство
   $$1\cdot 3+2\cdot 5+\dots+n(2n+1)=\frac{n(4n^2+9n+5)}{6}.$$

   База индукции: при $n=1$

   $$1\cdot 3=\frac{1(4+9+5)}{6}=\frac{18}{6}=3.$$

   Равенство верно.

   Индукционный переход: пусть для $n=k$ верно

   $$1\cdot 3+2\cdot 5+\dots+k(2k+1)=\frac{k(4k^2+9k+5)}{6}.$$

   Тогда для $n=k+1$ получаем

   $$1\cdot 3+2\cdot 5+\dots+k(2k+1)+(k+1)(2k+3).$$

   Подставим предположение индукции:

   $$S=\frac{k(4k^2+9k+5)}{6}+(k+1)(2k+3).$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$S=\frac{k(4k^2+9k+5)+6(k+1)(2k+3)}{6}.$$

   Раскроем скобки:

   $$S=\frac{4k^3+9k^2+5k+12k^2+30k+18}{6}=\frac{4k^3+21k^2+35k+18}{6}.$$

   Сгруппируем:

   $$S=\frac{(k+1)(4k^2+17k+18)}{6}.$$

   Заметим, что

   $$4k^2+17k+18=4(k+1)^2+9(k+1)+5.$$

   Значит,

   $$S=\frac{(k+1)\bigl(4(k+1)^2+9(k+1)+5\bigr)}{6}.$$

   Это и требовалось доказать.

Ответ

1) $$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}.$$
2) $$5^{n+1}+2^{3n}$$ делится на $3$ при любом натуральном $n$.
3) $$1\cdot 3+2\cdot 5+\dots+n(2n+1)=\frac{n(4n^2+9n+5)}{6}.$$