Контрольная работа 6 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Упростите выражение:
а) $$\sin(?-?)+2\sin(?)\cos(?)$$, если $$?+?=?$$;
б) $$\cos^2(?)+\frac{\sin(?/2+?)\cos(?-?)}{\operatorname{ctg}(?-?)\operatorname{tg}(3?/2-?)}$$, $$???n/2,\ n?Z$$. - Вычислите $$\cos(2005^\circ)\cos(1960^\circ)+\sin(1960^\circ)\sin(2005^\circ)$$.
- Известно, что $$\cos(?)=-0{,}6$$, $$?/2а) $$\sin(?)$$;
б) $$\sin(2?)$$;
в) $$\cos(2?)$$. - Постройте график функции $$y=\sin(7x)\cos(6x)-\sin(6x)\cos(7x)$$.
- Вычислите $$\sin(10^\circ)+2\sin(25^\circ)\cos(35^\circ)$$.
- Докажите справедливость равенства $$\sin(51^\circ)\cos(39^\circ)-\sin(21^\circ)\cos(9^\circ)=\frac{1}{4}$$.
- Велосипедист выехал из города А в город В. Через час после этого навстречу ему выехал мотоциклист из города В в город А. Через час после своего выезда мотоциклист встретился с велосипедистом, а через $$0{,}5$$ ч после встречи прибыл в город А. Сколько времени был в пути велосипедист?
а)
$$A=\sin(\alpha-\beta)+2\sin\beta\cos\alpha,$$
где $$\alpha+\beta=\pi.$$ Тогда$$A=(\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha)+2\sin\beta\cos\alpha$$
$$A=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha=\sin(\alpha+\beta)=\sin\pi=0.$$б)
$$B=\cos^2\alpha+\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\cos(\pi-\alpha)}{\ctg(\pi-\alpha)\tg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)}.$$
Используем формулы:
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha,$$
$$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha,$$
$$\ctg(\pi-\alpha)=-\ctg\alpha,$$
$$\tg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\ctg\alpha.$$Тогда
$$B=\cos^2\alpha+\frac{\cos\alpha\cdot(-\cos\alpha)}{(-\ctg\alpha)\cdot\ctg\alpha} =\cos^2\alpha+\frac{\cos^2\alpha}{\ctg^2\alpha}.$$Так как $$\ctg^2\alpha=\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha},$$ то
$$B=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1.$$$$\cos2005^\circ\cos1960^\circ+\sin1960^\circ\sin2005^\circ =\cos(2005^\circ-1960^\circ)=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}.$$
Дано: $$\cos\alpha=-0{,}6,\quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$ Тогда $$\sin\alpha>0.$$
$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-0{,}36}=\sqrt{0{,}64}=0{,}8.$$
$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot0{,}8\cdot(-0{,}6)=-0{,}96.$$
$$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\cdot0{,}36-1=-0{,}28.$$
$$y=\sin7x\cos6x-\sin6x\cos7x=\sin(7x-6x)=\sin x.$$
Значит, график данной функции совпадает с графиком $$y=\sin x$$.
$$A=\sin10^\circ+2\sin25^\circ\cos35^\circ.$$
По формуле произведения в сумму:
$$2\sin25^\circ\cos35^\circ=\sin60^\circ-\sin10^\circ.$$Тогда
$$A=\sin10^\circ+\sin60^\circ-\sin10^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.$$$$\sin51^\circ\cos39^\circ-\sin21^\circ\cos9^\circ =\frac{\sin90^\circ+\sin12^\circ}{2}-\frac{\sin30^\circ+\sin12^\circ}{2}.$$
$$=\frac{\sin90^\circ-\sin30^\circ}{2} =\frac{1-\frac12}{2} =\frac14.$$
Пусть $$x$$ км/ч — скорость мотоциклиста, $$y$$ км/ч — скорость велосипедиста.
По условию мотоциклист ехал до встречи 1 час, а велосипедист — 2 часа, значит,
$$x\cdot1=y\cdot2,$$
то есть
$$x=2y.$$После встречи мотоциклист ехал до города А ещё $$0{,}5$$ ч, а велосипедист — ещё $$4$$ ч. Следовательно, расстояния от места встречи до городов относятся как
$$0{,}5x=4y.$$Подставим $$x=2y$$:
$$0{,}5\cdot2y=4y \quad \Rightarrow \quad y=4y,$$
откуда отношение времени движения до встречи:
$$\frac{x}{y}=4.$$Тогда велосипедист был в пути
$$1+1+4=6$$
часов.
Ответ
1) а) $$0$$; б) $$1$$.
2) $$\frac{\sqrt2}{2}$$.
3) а) $$0{,}8$$; б) $$-0{,}96$$; в) $$-0{,}28$$.
4) $$y=\sin x$$.
5) $$\frac{\sqrt3}{2}$$.
6) $$\frac14$$.
7) $$6$$ ч.
