Самостоятельная работа 7 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. x^6-8x^3+17 > 0 для любого действительного числа x.
2. (a+2)/(a+3) < (a+4)/(a+5) для любого положительного числа a.
3. x^2-8x+1/(x^2-8x+17)?-15 для любого действительного числа x.
4. а) 19/20·21/22·23/24·...·2097/2098 < 1/10;
б) 3/4·6/7·9/10·...·189/190 < 1/4.
$$x^6-8x^3+17=(x^3-4)^2+1.$$
Так как $$\,(x^3-4)^2 \ge 0,$$ то
$$ (x^3-4)^2+1>0 $$
при любом действительном $$x$$.
$$\frac{a+2}{a+3}<\frac{a+4}{a+5}, \quad a>0.$$
Так как при $$a>0$$ знаменатели положительны, умножим обе части на $$\,(a+3)(a+5)$$:
$$ (a+2)(a+5)<(a+4)(a+3) $$
$$ a^2+7a+10<a^2+7a+12 $$
$$10<12,$$
что верно.
$$x^2-8x+\frac{1}{x^2-8x+17}\ge -15.$$
Обозначим
$$y=x^2-8x+17.$$
Тогда $$y=(x-4)^2+1>0,$$ и неравенство принимает вид
$$y+\frac{1}{y}\ge 2.$$
Умножим на $$y>0$$:
$$y^2+1\ge 2y,$$
$$ (y-1)^2\ge 0.$$
Следовательно, исходное неравенство верно.
а) Рассмотрим произведение
$$ A=\frac{19}{20}\cdot\frac{21}{22}\cdot\frac{23}{24}\cdot\dots\cdot\frac{2097}{2098}. $$
Составим ему «соседнее» произведение
$$ B=\frac{20}{21}\cdot\frac{22}{23}\cdot\frac{24}{25}\cdot\dots\cdot\frac{2098}{2099}. $$
Тогда
$$ AB=\frac{19}{2099}<\frac{21}{2100}=\frac{1}{100}. $$
Кроме того, $$A<B,$$ значит $$A^2<AB.$$ Следовательно,
$$ A^2<\frac{1}{100}, $$
откуда
$$ A<\frac{1}{10}. $$
б) Пусть
$$ A=\frac{3}{4}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{9}{10}\cdot\dots\cdot\frac{189}{190}. $$
Тогда
$$ B=\frac{5}{6}\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{11}{12}\cdot\dots\cdot\frac{191}{192}, $$
$$ C=\frac{4}{5}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{10}{11}\cdot\dots\cdot\frac{190}{191}. $$
Имеем
$$ ABC=\frac{3}{192}=\frac{1}{64}. $$
Причём $$A<C<B,$$ значит $$A^3<ABC.$$ Тогда
$$ A^3<\frac{1}{64}, $$
откуда
$$ A<\frac{1}{4}. $$
Ответ
1) Верно для любого $$x\in\mathbb{R}$$; 2) верно при $$a>0$$; 3) верно для любого $$x\in\mathbb{R}$$; 4) а) $$\frac{19}{20}\cdot\frac{21}{22}\cdot\dots\cdot\frac{2097}{2098}<\frac{1}{10}$$, б) $$\frac{3}{4}\cdot\frac{6}{7}\cdot\dots\cdot\frac{189}{190}<\frac{1}{4}$$.
