Самостоятельная работа 6 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. а) x^4-17x^2+16=0;
б) (x+79)^2+43(x+79)+120=0;
в) (x^2-3x)^2+18(x^2-3x)+32=0;
г) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120.
2. а) x^2-5x-2-24/(x^2-5x)=0;
б) (x^2+3x-3)/(x^2-4x-7)+(x^2-4x-7)/(x^2+3x-3)=-2.
а) Введём замену $$y=x^2.$$ Тогда
$$y^2-17y+16=0.$$
$$D=17^2-4\cdot 16=289-64=225,$$
$$y_1=\frac{17-15}{2}=1,\quad y_2=\frac{17+15}{2}=16.$$
Тогда
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,$$
$$x^2=16 \Rightarrow x=\pm 4.$$
б) Пусть $$y=x+79.$$ Тогда
$$y^2+43y+120=0.$$
$$D=43^2-4\cdot 120=1849-480=1369,$$
$$y_1=\frac{-43-37}{2}=-40,\quad y_2=\frac{-43+37}{2}=-3.$$
Следовательно,
$$x=-40-79=-119,\quad x=-3-79=-82.$$
в) Пусть $$y=x^2-3x.$$ Тогда
$$y^2+18y+32=0.$$
$$D=18^2-4\cdot 32=324-128=196,$$
$$y_1=\frac{-18-14}{2}=-16,\quad y_2=\frac{-18+14}{2}=-2.$$
1) Если $$x^2-3x=-16,$$ то
$$x^2-3x+16=0,$$
$$D=3^2-4\cdot 16=9-64<0,$$
действительных корней нет.
2) Если $$x^2-3x=-2,$$ то
$$x^2-3x+2=0,$$
$$D=3^2-4\cdot 2=9-8=1,$$
$$x_1=\frac{3-1}{2}=1,\quad x_2=\frac{3+1}{2}=2.$$
г) Сгруппируем множители:
$$ (x+1)(x+4)=x^2+5x+4, \quad (x+2)(x+3)=x^2+5x+6.$$
Пусть $$y=x^2+5x.$$ Тогда
$$ (y+4)(y+6)=120,$$
$$y^2+10y+24=120,$$
$$y^2+10y-96=0.$$
$$D=10^2+4\cdot 96=100+384=484,$$
$$y_1=\frac{-10-22}{2}=-16,\quad y_2=\frac{-10+22}{2}=6.$$
1) Если $$x^2+5x=-16,$$ то
$$x^2+5x+16=0,$$
$$D=5^2-4\cdot 16=25-64<0,$$
действительных корней нет.
2) Если $$x^2+5x=6,$$ то
$$x^2+5x-6=0,$$
$$D=5^2+4\cdot 6=25+24=49,$$
$$x_1=\frac{-5-7}{2}=-6,\quad x_2=\frac{-5+7}{2}=1.$$
а) Обозначим $$y=x^2-5x.$$ Тогда
$$y-2-\frac{24}{y}=0,\quad y\ne 0.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-2y-24=0.$$
$$D=2^2+4\cdot 24=4+96=100,$$
$$y_1=\frac{2-10}{2}=-4,\quad y_2=\frac{2+10}{2}=6.$$
1) Если $$x^2-5x=-4,$$ то
$$x^2-5x+4=0,$$
$$D=5^2-4\cdot 4=25-16=9,$$
$$x_1=\frac{5-3}{2}=1,\quad x_2=\frac{5+3}{2}=4.$$
2) Если $$x^2-5x=6,$$ то
$$x^2-5x-6=0,$$
$$D=5^2+4\cdot 6=25+24=49,$$
$$x_1=\frac{5-7}{2}=-1,\quad x_2=\frac{5+7}{2}=6.$$
б) Обозначим
$$y=\frac{x^2+3x-3}{x^2-4x-7},\quad y\ne 0.$$
Тогда
$$y+\frac{1}{y}=-2.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2+1=-2y,$$
$$y^2+2y+1=0,$$
$$ (y+1)^2=0,\quad y=-1.$$
Тогда
$$\frac{x^2+3x-3}{x^2-4x-7}=-1,$$
$$x^2+3x-3=-(x^2-4x-7),$$
$$x^2+3x-3=-x^2+4x+7,$$
$$2x^2-x-10=0.$$
$$D=1^2+4\cdot 2\cdot 10=1+80=81,$$
$$x_1=\frac{1-9}{4}=-2,\quad x_2=\frac{1+9}{4}=\frac{5}{2}.$$
Ответ
а) $$-4;\,-1;\,1;\,4$$
б) $$-119;\,-82$$
в) $$1;\,2$$
г) $$-6;\,1$$
а) $$-1;\,1;\,4;\,6$$
б) $$-2;\,\frac{5}{2}$$
