Контрольная работа 4 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
а) log(3, 81)-ln(e)+lg(1000);
б) 2·log(7, 16)/((log(3, v10+1)+log(3, v10-1))log(7, 2)).
2. Решите уравнение:
а) 4^x-3·2^x+2=0;
б) log(2, x)+6log(4, x)=8.
3. Решите неравенство:
а) 3^(x+2)-2·3^(x+1)+3^x < 12;
б) (log(0,5, x))^2+3log(0,5, x)-4?0.
4*. Докажите числовое равенство
(v5)^log(5, (v2-1)^2)+(v3)^log(3, (v2-2)^2)=1.
5*. Вычислите значение числового выражения 7^log(27, 8):2^log(3, 7).
6*. Решите уравнение 5·(5/6)^(x-1)-9·(6/5)^x+3=0.
7*. Проехав за 2 ч две трети расстояния между городами А и В, водитель уменьшил скорость на 15 км/ч, поэтому остаток пути он проехал за 1 ч 20 мин. Определите расстояние между городами А и В.
1.
а) $$\log_3 81-\ln e+\lg 1000=\log_3 3^4-1+3=4-1+3=6.$$
б) $$\frac{2\log_7 16}{\left(\log_3(\sqrt{10}+1)+\log_3(\sqrt{10}-1)\right)\log_7 2}$$
$$\log_3(\sqrt{10}+1)+\log_3(\sqrt{10}-1)=\log_3\bigl((\sqrt{10}+1)(\sqrt{10}-1)\bigr)=\log_3 9=2,$$
тогда
$$\frac{2\log_7 16}{2\log_7 2}=\frac{\log_7 16}{\log_7 2}=\log_2 16=4.$$
2.
а) $$4^x-3\cdot 2^x+2=0.$$
Положим $$y=2^x,$$ тогда $$4^x=(2^x)^2=y^2.$$ Получаем:
$$y^2-3y+2=0,$$
$$ (y-1)(y-2)=0,$$
$$y=1 \text{ или } y=2.$$
Тогда
$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$
$$2^x=2 \Rightarrow x=1.$$
б) $$\log_2 x+6\log_4 x=8.$$
Так как $$\log_4 x=\frac12\log_2 x,$$ то
$$\log_2 x+6\cdot \frac12\log_2 x=8,$$
$$4\log_2 x=8,$$
$$\log_2 x=2,$$
$$x=2^2=4.$$
3.
а) $$3^{x+2}-2\cdot 3^{x+1}+3^x<12.$$
Вынесем $$3^x$$:
$$3^x(3^2-2\cdot 3+1)<12,$$
$$4\cdot 3^x<12,$$
$$3^x<3,$$
$$x<1.$$
б) $$\left(\log_{0,5}x\right)^2+3\log_{0,5}x-4\le 0.$$
Положим $$y=\log_{0,5}x.$$ Тогда
$$y^2+3y-4\le 0,$$
$$ (y+4)(y-1)\le 0,$$
$$-4\le y\le 1.$$
Возвращаясь к $$x$$, получаем:
$$-4\le \log_{0,5}x\le 1.$$
Так как основание $$0,5<1,$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:
$$x\le (0,5)^{-4}=16,$$
$$x\ge (0,5)^1=0,5.$$
Следовательно, $$x\in[0,5;16].$$
4.
$$\left(\sqrt5\right)^{\log_5(\sqrt2-1)^2}+\left(\sqrt3\right)^{\log_3(\sqrt2-2)^2}$$
$$=\left(5^{1/2}\right)^{2\log_5|\sqrt2-1|}+\left(3^{1/2}\right)^{2\log_3|\sqrt2-2|}$$
$$=5^{\log_5|\sqrt2-1|}+3^{\log_3|2-\sqrt2|}$$
$$=|\sqrt2-1|+|2-\sqrt2|.$$
Так как $$\sqrt2-1>0$$ и $$2-\sqrt2>0,$$ то
$$|\sqrt2-1|+|2-\sqrt2|=(\sqrt2-1)+(2-\sqrt2)=1.$$
5.
$$7^{\log_{27}8}:2^{\log_3 7}.$$
Так как $$27=3^3,\; 8=2^3,$$ то
$$\log_{27}8=\log_{3^3}2^3=\log_3 2.$$
Тогда
$$7^{\log_3 2}:2^{\log_3 7}.$$
По свойству логарифмов:
$$7^{\log_3 2}=2^{\log_3 7},$$
значит,
$$7^{\log_{27}8}:2^{\log_3 7}=1.$$
6.
$$5\left(\frac56\right)^{x-1}-9\left(\frac65\right)^x+3=0.$$
Положим $$y=\left(\frac56\right)^x.$$ Тогда
$$\left(\frac56\right)^{x-1}=\left(\frac56\right)^x\cdot \frac65= \frac65\,y,$$
а
$$\left(\frac65\right)^x=\frac1y.$$
Получаем:
$$5\cdot \frac65\,y-9\cdot \frac1y+3=0,$$
$$6y-\frac9y+3=0.$$
Умножим на $$y>0$$:
$$6y^2+3y-9=0,$$
$$2y^2+y-3=0,$$
$$ (2y+3)(y-1)=0.$$
С учётом $$y>0$$ получаем $$y=1.$$ Тогда
$$\left(\frac56\right)^x=1 \Rightarrow x=0.$$
7.
Пусть $$x$$ км/ч — первоначальная скорость, $$y$$ км — расстояние между городами.
Тогда за 2 ч водитель проехал $$\frac23y$$, значит
$$2x=\frac23y.$$
После уменьшения скорости на $$15$$ км/ч оставшийся путь $$\frac13y$$ он проехал за $$1\text{ ч }20\text{ мин}=\frac43\text{ ч}$$:
$$\frac13y=(x-15)\cdot \frac43.$$
Из первого уравнения:
$$y=3x.$$
Подставим во второе:
$$\frac13\cdot 3x=\frac43(x-15),$$
$$x=\frac43x-20,$$
$$\frac13x=20,$$
$$x=60.$$
Тогда
$$y=3x=180.$$
Ответ
1) а) $$6$$; б) $$4$$. 2) а) $$0,1$$; б) $$4$$. 3) а) $$(-\infty;1)$$; б) $$[0,5;16]$$. 4) $$1$$. 5) $$1$$. 6) $$0$$. 7) $$180$$ км.
