Самостоятельная работа 5 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. а) (x^2-16)/(x^3+3x^2+16)=0; б) 4/(x-2)+x/(x-4)=1.
2. а) x/(x+3)+(4x+6)/(x^2+4x+3)=0; б) x^2/(x-3)-45/(x^2-x-6)+x/(x+2)=x.
3. (x^2-3x)/(x-4)+12/(x-5)+24/(x^2-9x+20)=x-1.
а)
$$\frac{x^2-16}{x^3+3x^2+16}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$x^2-16=0,$$
$$x=\pm 4.$$
Проверим знаменатель:
$$x^3+3x^2+16\big|_{x=4}=64+48+16=128\neq 0,$$
$$x^3+3x^2+16\big|_{x=-4}=-64+48+16=0.$$
Значит, $x=-4$ не подходит.Ответ: $$4$$
б)
$$\frac{4}{x-2}+\frac{x}{x-4}=1,\qquad x\neq 2,\; x\neq 4.$$
Умножим на $$(x-2)(x-4)$$:
$$ 4(x-4)+x(x-2)=(x-2)(x-4). $$
Раскроем скобки:
$$ 4x-16+x^2-2x=x^2-6x+8. $$
Тогда
$$ 2x-16=-6x+8, $$
$$ 8x=24, $$
$$x=3.$$Ответ: $$3$$
2. а)
$$\frac{x}{x+3}+\frac{4x+6}{x^2+4x+3}=0,\qquad x\neq -3,\; x\neq -1.$$
Разложим знаменатель:
$$x^2+4x+3=(x+3)(x+1).$$
Тогда
$$ \frac{x(x+1)}{(x+3)(x+1)}+\frac{4x+6}{(x+3)(x+1)}=0. $$
Умножим на $$(x+3)(x+1)$$:
$$ x(x+1)+4x+6=0, $$
$$ x^2+5x+6=0. $$
$$ (x+2)(x+3)=0. $$
Отсюда
$$x=-2 \text{ или } x=-3.$$
Значение $$x=-3$$ не подходит по ОДЗ, значит
$$x=-2.$$Ответ: $$-2$$
б)
$$\frac{x^2}{x-3}-\frac{45}{x^2-x-6}+\frac{x}{x+2}=x,$$
$$x\neq 3,\; x\neq -2.$$
Разложим знаменатель:
$$x^2-x-6=(x-3)(x+2).$$
Умножим уравнение на $$(x-3)(x+2)$$:
$$ x^2(x+2)-45+x(x-3)=x(x-3)(x+2). $$
Раскроем скобки:
$$ x^3+2x^2-45+x^2-3x=x^3-x^2-6x. $$
$$ 3x^2-3x-45=-x^2-6x, $$
$$ 4x^2+3x-45=0. $$
Найдём корни:
$$ D=3^2-4\cdot 4\cdot(-45)=9+720=729, $$
$$ x=\frac{-3\pm 27}{8}. $$
Получаем
$$x=3,\quad x=-\frac{15}{4}.$$
Значение $$x=3$$ не подходит по ОДЗ, значит
$$x=-\frac{15}{4}.$$Ответ: $$-\frac{15}{4}$$
3.
$$\frac{x^2-3x}{x-4}+\frac{12}{x-5}+\frac{24}{x^2-9x+20}=x-1,$$
$$x\neq 4,\; x\neq 5.$$
Разложим знаменатель:
$$x^2-9x+20=(x-4)(x-5).$$
Тогда
$$ \frac{x^2-3x}{x-4}+\frac{12}{x-5}+\frac{24}{(x-4)(x-5)}=x-1. $$
Умножим на $$(x-4)(x-5)$$:
$$ (x^2-3x)(x-5)+12(x-4)+24=(x-1)(x-4)(x-5). $$
Раскроем скобки:
$$ x^3-8x^2+15x+12x-48+24=x^3-10x^2+29x-20. $$
$$ -8x^2+27x-24=-10x^2+29x-20, $$
$$ 2x^2-2x-4=0, $$
$$ x^2-x-2=0. $$
$$ (x-2)(x+1)=0. $$
Отсюда
$$x=2 \text{ или } x=-1.$$
Оба значения удовлетворяют ОДЗ.Ответ: $$-1,\; 2$$
