Самостоятельная работа 45 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. {3x-4y=1, 2^x+2^((x+7)/2-y)=16}.
2. {2x/(3x-y)+15x-5y=7, 11·12^(3x-y)+12=12^(6x-2y)}.
3. {4sin(x)+cos(y)=1, 3sin(x)+cos(y)=2,5}.
4. {4/v(x+2)-3/v(y-1)=3, 2/v(x+2)+3/v(y-1)=3}.
Из первого уравнения:
$$3x-4y=1$$
$$4y=3x-1,\quad y=\frac{3x-1}{4}.$$
Подставим во второе уравнение:
$$2^x+2^{\frac{x+7}{2}-y}=16.$$
Тогда
$$2^x+2^{\frac{x+7}{2}-\frac{3x-1}{4}}=16,$$
$$2^x+2^{\frac{15-x}{4}}=16.$$
Пусть $$2^x=a$$, тогда $$2^{\frac{15-x}{4}}=\frac{8}{a^{1/4}}$$, но удобнее заметить, что при $$x=3$$ получаем:
$$2^3+2^{\frac{15-3}{4}}=8+2^3=16.$$
Проверим первое уравнение:
$$y=\frac{3\cdot 3-1}{4}=2.$$
Значит, $$x=3,\ y=2.$$
Обозначим $$t=3x-y$$. Тогда система примет вид:
$$\frac{2x}{t}+15x-5y=7,$$
$$11\cdot 12^t+12=12^{2t}.$$
Положим $$z=12^t$$. Тогда
$$11z+12=z^2,$$
$$z^2-11z-12=0.$$
$$D=121+48=169,$$
$$z_1=\frac{11-13}{2}=-1,\quad z_2=\frac{11+13}{2}=12.$$
Так как $$z=12^t>0$$, то $$z=12$$, значит $$12^t=12$$ и $$t=1.$$
Следовательно,
$$3x-y=1.$$
Тогда из первого уравнения:
$$\frac{2x}{1}+15x-5y=7,$$
$$17x-5y=7.$$
Решаем систему
$$ \begin{cases} 3x-y=1,\\ 17x-5y=7. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на 5:
$$15x-5y=5.$$
Вычтем его из второго:
$$2x=2,\quad x=1.$$
Тогда
$$y=3\cdot 1-1=2.$$
Сложим уравнения системы:
$$4\sin x+\cos y+3\sin x-\cos y=1+2{,}5,$$
$$7\sin x=3{,}5,\quad \sin x=\frac12.$$
Тогда
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Из первого уравнения:
$$4\sin x+\cos y=1,$$
$$4\cdot\frac12+\cos y=1,$$
$$\cos y=-1,$$
откуда
$$y=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Обозначим
$$a=\frac{1}{\sqrt{x+2}},\quad b=\frac{1}{\sqrt{y-1}}.$$
Тогда система имеет вид:
$$ \begin{cases} 4a-3b=3,\\ 2a+3b=3. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$6a=6,\quad a=1.$$
Тогда
$$\frac{1}{\sqrt{x+2}}=1,\quad \sqrt{x+2}=1,$$
$$x+2=1,\quad x=-1.$$
Подставим в первое уравнение:
$$4-\frac{3}{\sqrt{y-1}}=3,$$
$$\frac{3}{\sqrt{y-1}}=1,\quad \sqrt{y-1}=3,$$
$$y-1=9,\quad y=10.$$
Ответ
1) $$\left(3;\,2\right)$$; 2) $$\left(1;\,2\right)$$; 3) $$\left((-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\pi+2\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z$$; 4) $$\left(-1;\,10\right)$$.
