Самостоятельная работа 44 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. sin(x)+v3cos(x)=-1.
2. sin(x)+4sin(x)cos(x)-cos(x)=-1.
Решите неравенство (3—4).
3. 2sin^2(x)+2v3sin(x)cos(x) > 1.
4. sin(x)+cos(x)-2sin(x)cos(x) > -1.
5. Определите все a, при каждом из которых уравнение
5sin(x)+12cos(x)=a-2 имеет хотя бы одно решение.

1. $$\sin x+\sqrt3\cos x=-1$$

   Представим левую часть в виде одной синусоиды:

   $$2\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=-1$$

   $$\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3}=-\frac12$$

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac12$$

   Тогда

   $$x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}+2\pi n$$

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$\sin x+4\sin x\cos x-\cos x=-1$$

   Обозначим $$y=\sin x-\cos x$$. Тогда

   $$y^2=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x=1-2\sin x\cos x$$

   Следовательно, $$2\sin x\cos x=1-y^2$$, и уравнение принимает вид

   $$y+2(1-y^2)=-1$$

   $$2y^2-y-3=0$$

   $$D=1+24=25$$

   $$y_1=-1,\quad y_2=\frac32$$

   1) $$\sin x-\cos x=-1$$

   $$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-1$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   2) $$\sin x-\cos x=\frac32$$

   Но $$|\sin x-\cos x|\le \sqrt2<\frac32$$, значит решений нет.

3. $$2\sin^2 x+2\sqrt3\sin x\cos x>1$$

   $$1-2\sin^2 x-\sqrt3\sin 2x<0$$

   $$\cos 2x-\sqrt3\sin 2x<0$$

   $$2\left(\frac12\cos 2x-\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x\right)<0$$

   $$\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)<0$$

   Отсюда

   $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<2x+\frac{\pi}{3}<\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$

   $$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{7\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4. $$\sin x+\cos x-2\sin x\cos x>-1$$

   Обозначим $$y=\sin x+\cos x$$. Тогда

   $$y^2=1+2\sin x\cos x,\quad 2\sin x\cos x=y^2-1$$

   Получаем

   $$y-(y^2-1)>-1$$

   $$y^2-y-2<0$$

   $$ (y+1)(y-2)<0,\quad -1<y<2$$

   Но $$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le \sqrt2<2$$, поэтому достаточно условия

   $$\sin x+\cos x>-1$$

   $$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>-1$$

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>-\frac{\sqrt2}{2}$$

   Отсюда

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

5. $$5\sin x+12\cos x=a-2$$

   Амплитуда левой части равна

   $$A=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$$

   Значит, левая часть принимает все значения от $$-13$$ до $$13$$:

   $$-13\le a-2\le 13$$

   $$-11\le a\le 15$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x=2\pi n,\ \frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

3) $$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{7\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

4) $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

5) $$a\in[-11;15]$$