Контрольная работа 2 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Верно ли равенство:
а) $$\left(3^6\right)^{1/6}=-3$$;
б) $$\left(4^6\right)^{1/6}=4$$;
в) $$\left((-5)^6\right)^{1/6}=5$$;
г) $$\left((-6)^6\right)^{1/6}=-6$$? - Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) $$\frac{5}{3^{1/3}}$$;
б) $$\frac{2^{1/3}}{2^{1/3}-1}$$;
в) $$\frac{6}{25^{1/3}-5^{1/3}+1}$$. - Вычислите:
а) $$\left(800^2-2\cdot800\cdot175+175^2\right)^{1/4}$$;
б) $$\left(789^3+3\cdot789^2\cdot211+3\cdot789\cdot211^2+211^3\right)^{1/3}$$. - Упростите выражение $$\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x^{1/4}-y^{1/4}\right)\left(x^{1/4}+y^{1/4}\right)$$.
- Вычислите $$125^{1/3}-625^{1/4}+\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}-36^{1/4}+4^{1/4}$$.
- Найдите значение выражения $$\left(x\sqrt{x\sqrt{x^{1/3}}}\right)^{1/4}$$ при $$x=\left(27^4\right)^{1/5}$$.
- Велосипедист и мотоциклист отправились одновременно из пункта А в пункт В. Скорость мотоциклиста была в 3 раза больше скорости велосипедиста, но в пути он сделал остановку для устранения поломки мотоцикла и поэтому в пункт В прибыл на 5 мин позже велосипедиста, который на весь путь затратил 60 мин. Сколько минут мотоциклист устранял поломку мотоцикла?
Используем свойство корня чётной степени: $$\sqrt[6]{a^6}=|a|.$$
а) $$\left(3^6\right)^{\frac16}=3,$$ значит равенство неверно;
б) $$\left(4^6\right)^{\frac16}=4,$$ значит равенство верно;
в) $$\left((-5)^6\right)^{\frac16}=5,$$ значит равенство верно;
г) $$\left((-6)^6\right)^{\frac16}=6,$$ значит равенство неверно.Избавимся от иррациональности в знаменателе.
а) $$\frac{5}{\sqrt[3]{3}}=\frac{5\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{5\sqrt[3]{9}}{3};$$
б) $$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}-1}=\frac{\sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1\right)}{(\sqrt[3]{2}-1)\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1\right)}=\frac{\sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1\right)}{2-1}$$
$$=\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}=2+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2};$$в) $$\frac{6}{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1}=\frac{6(\sqrt[3]{5}+1)}{(\sqrt[3]{5}+1)(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1)}$$
$$=\frac{6(\sqrt[3]{5}+1)}{5- \sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1}=\sqrt[3]{5}+1.$$а) $$\sqrt[4]{800^2-2\cdot 800\cdot 175+175^2}=\sqrt[4]{(800-175)^2}=\sqrt[4]{625^2}=\sqrt{625}=25;$$
б) $$\sqrt[3]{789^3+3\cdot 789^2\cdot 211+3\cdot 789\cdot 211^2+211^3}=\sqrt[3]{(789+211)^3}=\sqrt[3]{1000^3}=1000.$$
$$\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}\right)\left(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}\right)$$
$$=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)=x-y.$$$$\sqrt[3]{125}-\sqrt[4]{625}+\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}-\sqrt[4]{36}+\sqrt[4]{4}$$
$$=5-5+\frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}$$
$$=\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}=0.$$$$\sqrt[4]{x\sqrt{x\sqrt[3]{x}}}=\sqrt[4]{x\cdot \sqrt{x\cdot x^{1/3}}}=\sqrt[4]{x\cdot \sqrt{x^{4/3}}}=\sqrt[4]{x\cdot x^{2/3}}=\sqrt[4]{x^{5/3}}.$$
При $$x=\left(27^4\right)^{1/5}=27^{4/5}$$ получаем:
$$\sqrt[4]{x^{5/3}}=\sqrt[4]{\left(27^{4/5}\right)^{5/3}}=\sqrt[4]{27^{4/3}}=\sqrt[4]{81}=3.$$Пусть велосипедист затратил на весь путь $$60$$ мин, тогда мотоциклист без остановки затратил бы в 3 раза меньше:
$$\frac{60}{3}=20 \text{ мин}.$$
По условию мотоциклист прибыл на $$5$$ мин позже, значит его общее время в пути:
$$60+5=65 \text{ мин}.$$
Тогда время остановки:
$$65-20=45 \text{ мин}.$$
Ответ
1) а) нет; б) да; в) да; г) нет.
2) а) $$\frac{5\sqrt[3]{9}}{3}$$; б) $$2+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}$$; в) $$\sqrt[3]{5}+1$$.
3) а) $$25$$; б) $$1000$$.
4) $$x-y$$.
5) $$0$$.
6) $$3$$.
7) $$45$$ мин.
