Самостоятельная работа 43 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. а) sin(x) < -1/2; б) cos(x) > v2/2; в) tg(x) < v3. 2. а) sin(x-?/3)?v3/2; б) cos(2x+?/4)?-v2/2. 3. 2sin^2(x)-cos(x) > 2.
4. Определите все a, при каждом из которых неравенство
3sin(x)-4cos(x)?a имеет хотя бы одно решение.

1. а) $$\sin x<-\frac12$$

   Значения синуса меньше $$-\frac12$$ на промежутке

   $$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   б) $$\cos x>\frac{\sqrt2}{2}$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   в) $$\tg x<\sqrt3$$

   На каждом промежутке монотонности тангенса получаем

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. а) $$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\ge \frac{\sqrt3}{2}$$

   Положим $$y=x-\frac{\pi}{3}$$. Тогда

   $$\sin y\ge \frac{\sqrt3}{2},$$

   откуда

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le y\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем

   $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le x\le \pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   б) $$\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\le -\frac{\sqrt2}{2}$$

   Положим $$y=2x+\frac{\pi}{4}$$. Тогда

   $$\cos y\le -\frac{\sqrt2}{2},$$

   значит

   $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le y\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$\frac{\pi}{2}+\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$2\sin^2 x-\cos x>2$$

   Положим $$y=\cos x$$. Тогда

   $$2\sin^2 x=2(1-\cos^2 x)=2-2y^2,$$

   и неравенство принимает вид

   $$2-2y^2-y>2,$$

   $$-2y^2-y>0,$$

   $$y(2y+1)<0.$$

   С учётом $$-1\le y\le 1$$ получаем

   $$-\frac12<\cos x<0.$$

   Отсюда

   $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$\frac{4\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. Нужно найти все $$a$$, при которых неравенство

   $$3\sin x-4\cos x\le a$$

   имеет хотя бы одно решение.

   Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

   $$3\sin x-4\cos x=5\sin(x-t),$$

   где

   $$\cos t=\frac35,\quad \sin t=\frac45.$$

   Тогда

   $$5\sin(x-t)\le a,$$

   а так как $$-1\le \sin(x-t)\le 1,$$ то левая часть принимает все значения от $$-5$$ до $$5$$.

   Чтобы неравенство имело хотя бы одно решение, нужно и достаточно, чтобы

   $$a\ge -5.$$

Ответ

1) а) $$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.

2) а) $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le x\le \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$\frac{\pi}{2}+\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.

3) $$\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$.

4) $$a\ge -5$$.