Самостоятельная работа 42 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. sin(x)-5cos(x)=0.
2. sin(2x)+v3cos(2x)=0.
3. sin^2(x)+3sin(x)cos(x)-4cos^2(x)=0.
4. 5cos^2(x)+3sin(x)cos(x)=1.
5. Определите все a, при каждом из которых уравнение
sin^2(x)-4sin(x)cos(x)+a cos^2(x) не имеет решения.

1. $$\sin x-5\cos x=0$$
   
   $$\cos x\neq 0,\quad \tg x-5=0$$
   
   $$\tg x=5$$
   
   $$x=\arctg 5+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin 2x+\sqrt3\cos 2x=0$$
   
   $$\cos 2x\neq 0,\quad \tg 2x+\sqrt3=0$$
   
   $$\tg 2x=-\sqrt3$$
   
   $$2x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$$
   
   $$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin^2 x+3\sin x\cos x-4\cos^2 x=0$$
   
   $$\cos x\neq 0,\quad \tg^2 x+3\tg x-4=0$$
   
   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
   $$y^2+3y-4=0$$
   
   $$D=3^2+4\cdot 4=25$$
   
   $$y_1=\frac{-3-5}{2}=-4,\qquad y_2=\frac{-3+5}{2}=1$$
   
   Тогда
   $$\tg x=-4 \Rightarrow x=-\arctg 4+\pi n,$$
   $$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$5\cos^2 x+3\sin x\cos x=1$$
   
   $$5\cos^2 x+3\sin x\cos x=\sin^2 x+\cos^2 x$$
   
   $$\sin^2 x-3\sin x\cos x-4\cos^2 x=0$$
   
   $$\cos x\neq 0,\quad \tg^2 x-3\tg x-4=0$$
   
   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
   $$y^2-3y-4=0$$
   
   $$D=3^2+4\cdot 4=25$$
   
   $$y_1=\frac{3-5}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{3+5}{2}=4$$
   
   Значит,
   $$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
   $$\tg x=4 \Rightarrow x=\arctg 4+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$\sin^2 x-4\sin x\cos x+a\cos^2 x=0$$
   
   При $$\cos x\neq 0$$ получаем
   $$\tg^2 x-4\tg x+a=0.$$
   
   Чтобы уравнение не имело решений, квадратное уравнение по $$y=\tg x$$ не должно иметь действительных корней:
   $$D=16-4a<0.$$
   $$16<4a,\qquad a>4.$$

Ответ

1) $$x=\arctg 5+\pi n$$
2) $$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}$$
3) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=-\arctg 4+\pi n$$
4) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\arctg 4+\pi n$$
5) $$a>4$$, то есть $$a\in(4;+\infty)$$, $$n\in\mathbb Z$$