Самостоятельная работа 41 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. 2sin^2(x)+5cos(x)+1=0. 2. sin(3x)cos(x)=sin(x)cos(3x).
3. cos(2x)-cos(x)=0. 4. cos(0,5?+2x)+sin(x)=0.
5. sin^4(x)+cos(2x)=1.

1. $$2\sin^2 x+5\cos x+1=0$$

   $$2(1-\cos^2 x)+5\cos x+1=0$$

   $$2-2\cos^2 x+5\cos x+1=0$$

   Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

   $$2y^2-5y-3=0$$

   $$D=25+24=49$$

   $$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{4}$$

   $$y_1=-\frac12,\quad y_2=3$$

   Так как $$|\cos x|\le 1$$, подходит только $$\cos x=-\frac12$$.

   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$\sin 3x\cos x=\sin x\cos 3x$$

   $$\frac{\sin 4x+\sin 2x}{2}=\frac{\sin 4x-\sin 2x}{2}$$

   $$\sin 4x+\sin 2x=\sin 4x-\sin 2x$$

   $$2\sin 2x=0$$

   $$\sin 2x=0$$

   $$2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

3. $$\cos 2x-\cos x=0$$

   Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

   $$2y^2-1-y=0$$

   $$2y^2-y-1=0$$

   $$D=1+8=9$$

   $$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}$$

   $$y_1=1,\quad y_2=-\frac12$$

   1) $$\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi n$$

   2) $$\cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

4. $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)+\sin x=0$$

   $$-\sin 2x+\sin x=0$$

   $$\sin x-2\sin x\cos x=0$$

   $$\sin x(1-2\cos x)=0$$

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n$$

   2) $$1-2\cos x=0 \Rightarrow \cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$$

5. $$\sin^4 x+\cos 2x=1$$

   Пусть $$y=\sin^2 x$$. Тогда

   $$\cos 2x=1-2\sin^2 x=1-2y$$

   $$y^2+1-2y=1$$

   $$y^2-2y=0$$

   $$y(y-2)=0$$

   С учётом $$0\le \sin^2 x\le 1$$ получаем $$y=0$$.

   $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1. $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
2. $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$
3. $$x=2\pi n,\ \pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
4. $$x=\pi n,\ \pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
5. $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$