Самостоятельная работа 40 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. cos(3x-?/3)=1. 2. sin^2(x)+5sin(x)+4=0.
3. cos^2(x)+4cos(x)+3=0. 4. ctg(x)+4/ctg(x)+5=0.
5. tg^3(x)-tg^2(x)+2tg(x)-2=0.

1. $$\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)=1.$$

   Положим $$y=3x-\frac{\pi}{3}.$$ Тогда $$\cos y=1,$$ откуда

   $$y=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$3x-\frac{\pi}{3}=2\pi n,$$

   $$3x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}.$$

2. $$\sin^2 x+5\sin x+4=0.$$

   Положим $$y=\sin x.$$ Тогда

   $$y^2+5y+4=0,$$

   $$\left(y+1\right)\left(y+4\right)=0.$$

   Отсюда $$y=-1$$ или $$y=-4.$$

   Так как $$|\sin x|\le 1,$$ значение $$y=-4$$ не подходит. Значит,

   $$\sin x=-1,$$

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$\cos^2 x+4\cos x+3=0.$$

   Положим $$y=\cos x.$$ Тогда

   $$y^2+4y+3=0,$$

   $$\left(y+1\right)\left(y+3\right)=0.$$

   Отсюда $$y=-1$$ или $$y=-3.$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ значение $$y=-3$$ не подходит. Значит,

   $$\cos x=-1,$$

   $$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$\ctg x+\frac{4}{\ctg x}+5=0.$$

   Положим $$y=\ctg x,$$ тогда $$y\ne 0.$$ Получаем

   $$y+\frac{4}{y}+5=0,$$

   $$y^2+5y+4=0,$$

   $$\left(y+1\right)\left(y+4\right)=0.$$

   Отсюда $$y=-1$$ или $$y=-4.$$

   Тогда

   $$\ctg x=-1 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

   $$\ctg x=-4 \quad \Rightarrow \quad x=-\operatorname{arcctg}4+\pi n,$$

   где $$n\in\mathbb{Z}.$$

5. $$\tg^3 x-\tg^2 x+2\tg x-2=0.$$

   Положим $$y=\tg x.$$ Тогда

   $$y^3-y^2+2y-2=0,$$

   $$y^2(y-1)+2(y-1)=0,$$

   $$\left(y^2+2\right)\left(y-1\right)=0.$$

   Так как $$y^2+2=0$$ не имеет действительных корней, то

   $$y=1.$$

   Следовательно,

   $$\tg x=1,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}$$;
2) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$;
3) $$x=\pi+2\pi n$$;
4) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=-\operatorname{arcctg}4+\pi n$$;
5) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$ $$n\in\mathbb{Z}.$$