Самостоятельная работа 4 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

б) Найдите значение полученной дроби при x=-1.
2. а) Запишите в виде дроби выражение 1/((x+1)(x+2))+1/((x+2)(x+3))+…+1/((x+10)(x+11)).
б) Найдите значение полученной дроби при x=-10.
3. Упростите выражение ((x^3+8)/(x^3-2x^2+4x)+(8x^3-1)/(4x^2+2x+1)):((8x^3+1)/(4x^2-2x+1)-(x^3-8)/(x^3+2x^2+4x)).

1. Сократим дробь:

   $$\frac{x^3+4x^2+5x+2}{x^3-x^2-5x-3}$$

   Разложим числитель и знаменатель на множители:

   $$ x^3+4x^2+5x+2=(x+1)(x^2+3x+2)=(x+1)(x+1)(x+2), $$
   $$ x^3-x^2-5x-3=(x+1)(x^2-2x-3)=(x+1)(x-3)(x+1). $$

   Тогда
   $$\frac{x^3+4x^2+5x+2}{x^3-x^2-5x-3}=\frac{(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-3)}=\frac{x+2}{x-3}.$$

   При $$x=-1$$:
   $$\frac{x+2}{x-3}=\frac{-1+2}{-1-3}=\frac{1}{-4}=-\frac14.$$

2. Запишем сумму в виде дроби:

   $$ S=\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\cdots+\frac{1}{(x+10)(x+11)}. $$

   Представим каждый член как разность:

   $$ \frac{1}{(x+k)(x+k+1)}=\frac{1}{x+k}-\frac{1}{x+k+1}. $$

   Тогда
   $$ S=\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)+\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{x+10}-\frac{1}{x+11}\right). $$

   После сокращения получаем:
   $$S=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+11}=\frac{10}{(x+1)(x+11)}.$$

   При $$x=-10$$:
   $$S(-10)=\frac{10}{(1-10)(11-10)}=\frac{10}{(-9)\cdot 1}=-\frac{10}{9}.$$

3. Упростим выражение:

   $$ \left(\frac{x^3+8}{x^3-2x^2+4x}+\frac{8x^3-1}{4x^2+2x+1}\right): \left(\frac{8x^3+1}{4x^2-2x+1}-\frac{x^3-8}{x^3+2x^2+4x}\right). $$

   Разложим на множители:

   $$ x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4), \quad x^3-2x^2+4x=x(x^2-2x+4), $$
   $$ 8x^3-1=(2x-1)(4x^2+2x+1), $$
   $$ 8x^3+1=(2x+1)(4x^2-2x+1), $$
   $$ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4), \quad x^3+2x^2+4x=x(x^2+2x+4). $$

   Тогда
   $$ \frac{x^3+8}{x^3-2x^2+4x}+\frac{8x^3-1}{4x^2+2x+1} =\frac{x+2}{x}+(2x-1), $$
   $$ \frac{8x^3+1}{4x^2-2x+1}-\frac{x^3-8}{x^3+2x^2+4x} =(2x+1)-\frac{x-2}{x}. $$

   Приведём к общему виду:
   $$ \frac{x+2}{x}+(2x-1)=\frac{x+2+2x^2-x}{x}=\frac{2x^2+2}{x}, $$
   $$ (2x+1)-\frac{x-2}{x}=\frac{x(2x+1)-(x-2)}{x}=\frac{2x^2+2}{x}. $$

   Следовательно,
   $$ \left(\frac{2x^2+2}{x}\right):\left(\frac{2x^2+2}{x}\right)=1. $$

Ответ

1) $$\frac{x+2}{x-3}, \quad S(-1)=-\frac14$$

2) $$\frac{10}{(x+1)(x+11)}, \quad S(-10)=-\frac{10}{9}$$

3) $$1$$