Самостоятельная работа 39 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. а) cos(x)=1; б) sin(x)=-v2/2; в) cos(x)=1/2; г) sin(x)=v3/2.
2. а) ctg(x)=-1; б) tg(x)=v3; в) ctg(x)=-v3/3.
3. а) cos(x)=1/6; б) sin(x)=-1/5; в) ctg(x)=1/2; г) sin(x)=?/2.
4. sin(x)-2sin(x)cos(x)+4cos(x)-2=0.
а) $$\cos x=1$$
$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$$
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
в) $$\cos x=\frac12$$
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
г) $$\sin x=\frac{\sqrt3}{2}$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
а) $$\ctg x=-1$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$\tg x=\sqrt3$$
$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
в) $$\ctg x=-\frac{\sqrt3}{3}$$
$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
а) $$\cos x=\frac16$$
$$x=\pm\arccos\frac16+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$\sin x=-\frac15$$
$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac15+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
в) $$\ctg x=\frac12$$
$$x=\operatorname{arcctg}\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
г) $$\sin x=\frac{\pi}{2}$$
Так как $$\frac{\pi}{2}>1,$$ то уравнение не имеет решений.
$$\sin x-2\sin x\cos x+4\cos x-2=0$$
Сгруппируем слагаемые:
$$\sin x-2\sin x\cos x+4\cos x-2=(\sin x-2)-2\cos x(\sin x-2).$$
Тогда
$$(\sin x-2)(1-2\cos x)=0.$$
Отсюда
$$\sin x-2=0 \quad \text{или} \quad 1-2\cos x=0.$$
Уравнение $$\sin x=2$$ не имеет решений, так как $$|\sin x|\le 1.$$
Остаётся:
$$\cos x=\frac12.$$
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Ответ
1) а) $$x=2\pi n$$; б) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n$$; в) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$; г) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n$$.
2) а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$; б) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n$$; в) $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$$.
3) а) $$x=\pm\arccos\frac16+2\pi n$$; б) $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac15+\pi n$$; в) $$x=\operatorname{arcctg}\frac12+\pi n$$; г) решений нет.
4) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
