Самостоятельная работа 38 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Определите промежутки возрастания функции y=cos(x/2).
3. Докажите четность (или нечетность) функции y=cos(5x)-cos(3x).
4. Определите главный период функции f(x)=cos^2(x/2)-sin^2(x/2).
5. Определите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=2cos^2(6x)+5sin^2(6x).
6. Постройте график функции f(x)=(|cos(x)|+cos(x))/2.

1. Функция $$y=\cos x$$ — косинусоида с амплитудой $$1$$ и периодом $$2\pi$$. Для построения достаточно отметить точки:

   $$ (0,1),\ \left(\frac{\pi}{2},0\right),\ (\pi,-1),\ \left(\frac{3\pi}{2},0\right),\ (2\pi,1). $$

2. Функция $$y=\cos\frac{x}{2}$$ возрастает там, где возрастает косинус от аргумента $$\frac{x}{2}$$. У косинуса промежутки возрастания:

   $$ \pi+2\pi k \le t \le 2\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. $$

   Полагая $$t=\frac{x}{2}$$, получаем:

   $$ 2\pi+4\pi k \le x \le 4\pi+4\pi k,\quad k\in\mathbb Z. $$

3. Проверим чётность функции $$y=\cos 5x-\cos 3x$$:

   $$ y(-x)=\cos(-5x)-\cos(-3x)=\cos 5x-\cos 3x=y(x). $$

   Следовательно, функция чётная.

4. Найдём главный период функции

   $$ f(x)=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}. $$

   Используем формулу:

   $$ \cos^2 a-\sin^2 a=\cos 2a. $$

   Тогда

   $$ f(x)=\cos x. $$

   Главный период функции $$\cos x$$ равен $$2\pi$$.

5. Преобразуем функцию:

   $$ f(x)=2\cos^2 6x+5\sin^2 6x =2\cos^2 6x+5(1-\cos^2 6x) =5-3\cos^2 6x. $$

   Так как

   $$ 0\le \cos^2 6x\le 1, $$

   то

   $$ 2\le 5-3\cos^2 6x\le 5. $$

   Значит, наибольшее значение функции равно $$5$$, а наименьшее — $$2$$.

6. Рассмотрим функцию

   $$ f(x)=\frac{|\cos x|+\cos x}{2}. $$

   Если $$\cos x\ge 0$$, то $$|\cos x|=\cos x$$ и

   $$ f(x)=\frac{\cos x+\cos x}{2}=\cos x. $$

   Если $$\cos x<0$$, то $$|\cos x|=-\cos x$$ и

   $$ f(x)=\frac{-\cos x+\cos x}{2}=0. $$

   Следовательно, график функции совпадает с графиком $$y=\cos x$$ на тех промежутках, где $$\cos x\ge 0$$, и лежит на оси $$Ox$$ там, где $$\cos x<0$$.

Ответ

1. График функции $$y=\cos x$$.
2. $$2\pi+4\pi k \le x \le 4\pi+4\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
3. Функция чётная.
4. $$2\pi$$.
5. Наибольшее значение: $$5$$, наименьшее значение: $$2$$.
6. $$f(x)=\cos x$$ при $$\cos x\ge 0$$, и $$f(x)=0$$ при $$\cos x<0$$.