Самостоятельная работа 12 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- а) $$\left(x+2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)<0$$; б) $$\frac{\left(x+5\right)\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)^2}\mathrel{?}0$$.
- а) $$\frac{2x+1}{x-3}\mathrel{?}1$$; б) $$\frac{x}{x-4}+\frac{5}{x-1}+\frac{24}{x^2-5x+4}\mathrel{?}0$$.
- Решите систему неравенств:
а) $$\begin{cases}x^2+x-2>0,\\x^2-x-12\mathrel{?}0;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x^2+2x-3\mathrel{?}0,\\\frac{x+3}{x-2}\mathrel{?}0;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}|x|\mathrel{?}4,\\x^2-x-12\mathrel{?}0.\end{cases}$$
а) $$(x-3)(x+2)(x-4)<0$$
Нули выражения: $$x=-2,\; x=3,\; x=4.$$
Рассматриваем знаки на промежутках. Произведение отрицательно при
$$x<-2,\quad 3<x<4.$$
Ответ: $$(-\infty;-2)\cup(3;4).$$
б) $$\frac{(x+5)(x-2)}{(x-1)^2}\ge 0$$
Так как $$(x-1)^2>0$$ при $$x\ne 1,$$ знак дроби определяется числителем.
Тогда
$$(x+5)(x-2)\ge 0,\quad x\ne 1.$$
Отсюда
$$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 2,$$
при этом $$x=1$$ не входит в найденные промежутки.
Ответ: $$(-\infty;-5]\cup[2;+\infty).$$
2. а) $$\frac{2x+1}{x-3}\le 1$$
Перенесём единицу в левую часть:
$$\frac{2x+1}{x-3}-1\le 0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{2x+1-(x-3)}{x-3}\le 0,$$
$$\frac{x+4}{x-3}\le 0.$$
Критические точки: $$x=-4,\; x=3.$$
С учётом знаков получаем
$$x\in[-4;3).$$
Ответ: $$[-4;3).$$
б) $$\frac{x}{x-4}+\frac{5}{x-1}+\frac{24}{x^2-5x+4}\le 0$$
Разложим знаменатель:
$$x^2-5x+4=(x-4)(x-1).$$
Тогда
$$\frac{x}{x-4}+\frac{5}{x-1}+\frac{24}{(x-4)(x-1)}\le 0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x(x-1)+5(x-4)+24}{(x-4)(x-1)}\le 0,$$
$$\frac{x^2-x+5x-20+24}{(x-4)(x-1)}\le 0,$$
$$\frac{x^2+4x+4}{(x-4)(x-1)}\le 0,$$
$$\frac{(x+2)^2}{(x-4)(x-1)}\le 0.$$
Область определения: $$x\ne 1,\; x\ne 4.$$
Числитель неотрицателен, поэтому дробь не положительна, когда знаменатель отрицателен, а также при $$x=-2.$$
Получаем
$$x\in\{-2\}\cup(1;4).$$
Ответ: $$\{-2\}\cup(1;4).$$
3. а) $$\begin{cases} x^2+x-2>0,\\ x^2-x-12\le 0 \end{cases}$$
1) $$x^2+x-2=(x+2)(x-1),$$ поэтому
$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>1.$$
2) $$x^2-x-12=(x-4)(x+3),$$ поэтому
$$-3\le x\le 4.$$
Пересечение решений:
$$[-3;-2)\cup(1;4].$$
Ответ: $$[-3;-2)\cup(1;4].$$
б) $$\begin{cases} x^2+2x-3\ge 0,\\ \dfrac{x+3}{x-2}\le 0 \end{cases}$$
1) $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1),$$ значит
$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$
2) $$\dfrac{x+3}{x-2}\le 0,$$ откуда
$$-3\le x<2.$$
Пересечение:
$$\{-3\}\cup[1;2).$$
Ответ: $$\{-3\}\cup[1;2).$$
в) $$\begin{cases} |x|\ge 4,\\ x^2-x-12\ge 0 \end{cases}$$
1) $$|x|\ge 4 \iff x\le -4 \text{ или } x\ge 4.$$
2) $$x^2-x-12=(x-4)(x+3),$$ поэтому
$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$
Пересечение решений:
$$(-\infty;-4]\cup[4;+\infty).$$
Ответ: $$(-\infty;-4]\cup[4;+\infty).$$
