Контрольная работа 3 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Вычислите (2^(1/2)·4^(5/4))/(9^(2/3)·3^(2/3)).
3. Постройте график функции и перечислите свойства этой функции:
а) y=3^x; б) y=(1/2)^x.
4. Упростите выражение (3/(x^(1/4)+y^(1/4))+3/(x^(1/4)-y^(1/4)))·(y^(-1/2)-x^(-1/2))/(4x^(-1/4)y^(-1/2)).
5*. Упростите выражение (((x^(1/4)-x^(-1/4))^2+2)/((x^(1/4)+x^(-1/4))^2-2)-x)^(-3/4) и найдите его значение при x=65/81.
6*. Вычислите предел последовательности:
а) (n > +?)lim((4n^3-5n^2-4)/(5n^3+12n^2+13)); б) (n > +?)lim((n^3-2n^2+4)/(n^2+11n));
в) (n > +?)lim(n^(1/3)-(n-1)^(1/3)); г) (n > +?)lim(14-n+3n^2-2n^3).
7*. Мотоциклист и велосипедист отправились одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу и встретились через некоторое время. Если бы они отправились одновременно из тех же пунктов в одном направлении, то, для того чтобы догнать велосипедиста, мотоциклисту потребовалось бы в 2 раза больше времени, чем они потратили до встречи при движении навстречу друг другу. Во сколько раз скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста?

1. $$\left(a^{\frac14}\cdot a^{\frac13}\right)^{12}=a^{\left(\frac14+\frac13\right)\cdot 12}=a^{\frac{7}{12}\cdot 12}=a^7.$$

   При $$a=\left(\frac34\right)^{\frac27}$$ получаем

   $$a^7=\left(\frac34\right)^{\frac27\cdot 7}=\left(\frac34\right)^2=\frac{9}{16}.$$

2. $$\frac{2^{\frac12}\cdot 4^{\frac54}}{9^{\frac23}\cdot 3^{\frac23}}=\frac{2^{\frac12}\cdot (2^2)^{\frac54}}{(3^2)^{\frac23}\cdot 3^{\frac23}}=\frac{2^{\frac12}\cdot 2^{\frac52}}{3^{\frac43}\cdot 3^{\frac23}}=\frac{2^3}{3^2}=\frac89.$$

3. а) $$y=3^x$$

   График проходит через точку $$\left(0;1\right)$$, функция возрастает.

   Свойства: $$D(y)=(-\infty;+\infty),\quad E(y)=(0;+\infty),\quad y>0.$$

   б) $$y=\left(\frac12\right)^x$$

   График проходит через точку $$\left(0;1\right)$$, функция убывает.

   Свойства: $$D(y)=(-\infty;+\infty),\quad E(y)=(0;+\infty),\quad y>0.$$

4. $$A=\left(\frac{3}{x^{\frac14}+y^{\frac14}}+\frac{3}{x^{\frac14}-y^{\frac14}}\right)\cdot \frac{y^{-\frac12}-x^{-\frac12}}{4x^{-\frac14}y^{-\frac12}}.$$

   Сложим дроби в первой скобке:

   $$\frac{3}{x^{\frac14}+y^{\frac14}}+\frac{3}{x^{\frac14}-y^{\frac14}}=\frac{3\left(x^{\frac14}-y^{\frac14}\right)+3\left(x^{\frac14}+y^{\frac14}\right)}{\left(x^{\frac14}+y^{\frac14}\right)\left(x^{\frac14}-y^{\frac14}\right)}=\frac{6x^{\frac14}}{x^{\frac12}-y^{\frac12}}.$$

   Тогда

   $$A=\frac{6x^{\frac14}}{x^{\frac12}-y^{\frac12}}\cdot \frac{y^{-\frac12}-x^{-\frac12}}{4x^{-\frac14}y^{-\frac12}}.$$

   Преобразуем:

   $$y^{-\frac12}-x^{-\frac12}=\frac{1}{y^{\frac12}}-\frac{1}{x^{\frac12}}=\frac{x^{\frac12}-y^{\frac12}}{x^{\frac12}y^{\frac12}}.$$

   Подставим:

   $$A=\frac{6x^{\frac14}}{x^{\frac12}-y^{\frac12}}\cdot \frac{x^{\frac12}-y^{\frac12}}{x^{\frac12}y^{\frac12}}\cdot \frac{1}{4x^{-\frac14}y^{-\frac12}}.$$

   Сокращаем и получаем

   $$A=\frac{6}{4}=\frac32.$$

5. $$A=\left(\frac{\left(x^{\frac14}-x^{-\frac14}\right)^2+2}{\left(x^{\frac14}+x^{-\frac14}\right)^2-2}-x\right)^{-\frac34}.$$

   Раскроем скобки:

   $$\left(x^{\frac14}-x^{-\frac14}\right)^2=x^{\frac12}-2+x^{-\frac12},$$

   $$\left(x^{\frac14}+x^{-\frac14}\right)^2=x^{\frac12}+2+x^{-\frac12}.$$

   Тогда

   $$\frac{\left(x^{\frac14}-x^{-\frac14}\right)^2+2}{\left(x^{\frac14}+x^{-\frac14}\right)^2-2}=\frac{x^{\frac12}+x^{-\frac12}}{x^{\frac12}+x^{-\frac12}}=1,$$

   значит

   $$A=(1-x)^{-\frac34}.$$

   При $$x=\frac{65}{81}$$ имеем

   $$A=\left(1-\frac{65}{81}\right)^{-\frac34}=\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac34}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}=\left(\frac32\right)^3=\frac{27}{8}.$$

6. а)

   $$\lim_{n\to+\infty}\frac{4n^3-5n^2-4}{5n^3+12n^2+13}=\lim_{n\to+\infty}\frac{4-\frac{5}{n}-\frac{4}{n^3}}{5+\frac{12}{n}+\frac{13}{n^3}}=\frac45.$$

   б)

   $$\lim_{n\to+\infty}\frac{n^3-2n^2+4}{n^2+11n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{n-\;2+\frac{4}{n^2}}{1+\frac{11}{n}}=+\infty.$$

   в)

   $$\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{n-1}\right)=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}+\sqrt[3]{n(n-1)}+\sqrt[3]{(n-1)^2}}=0.$$

   г)

   $$\lim_{n\to+\infty}(14-n+3n^2-2n^3)=-\infty.$$

7. Пусть $$x$$ — скорость велосипедиста, $$y$$ — скорость мотоциклиста, $$t$$ — время до встречи при движении навстречу.

   Тогда

   $$x+y=\frac{S}{t},$$

   а при движении в одном направлении время догоняния равно $$2t$$, значит

   $$y-x=\frac{S}{2t}.$$

   Делим первое равенство на второе:

   $$\frac{x+y}{y-x}=2.$$

   Отсюда

   $$x+y=2y-2x,$$

   $$3x=y.$$

   Следовательно, скорость мотоциклиста в 3 раза больше скорости велосипедиста.

Ответ

1) $$\frac{9}{16}$$; 2) $$\frac89$$; 3) $$y=3^x$$ — возрастающая, $$y=\left(\frac12\right)^x$$ — убывающая; 4) $$\frac32$$; 5) $$\frac{27}{8}$$; 6) а) $$\frac45$$, б) $$+\infty$$, в) $$0$$, г) $$-\infty$$; 7) в 3 раза.