Самостоятельная работа 37 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Вычислите:
а) (tg(87°)-tg(27°))/(1+tg(87°)tg(27°));
б) (tg(16°)+tg(14°))/(1-tg(16°)tg(14°)).
3. Докажите равенство
(tg(4?)-tg(3?))/(1+tg(4?)tg(3?))+(tg(3?)-tg(2?))/(1+tg(3?)tg(2?))=2tg(?)
для тех ?, для которых определены обе его части.
4. Вычислите tg(2?), если tg(?)=1/3.
5. Вычислите tg(105°).

1. Используем формулы суммы и разности тангенсов:

   $$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}, \qquad \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}.$$

   При $$\tg\alpha=\frac13$$ и $$\tg\beta=\frac16$$ получаем:

   $$ \tg(\alpha+\beta)=\frac{\frac13+\frac16}{1-\frac13\cdot\frac16} =\frac{\frac12}{1-\frac1{18}} =\frac{\frac12}{\frac{17}{18}} =\frac{9}{17}, $$

   $$ \tg(\alpha-\beta)=\frac{\frac13-\frac16}{1+\frac13\cdot\frac16} =\frac{\frac16}{1+\frac1{18}} =\frac{\frac16}{\frac{19}{18}} =\frac{3}{19}. $$

2. а)

   $$ \frac{\tg 87^\circ-\tg 27^\circ}{1+\tg 87^\circ \tg 27^\circ} =\tg(87^\circ-27^\circ) =\tg 60^\circ =\sqrt{3}. $$

   б)

   $$ \frac{\tg 16^\circ+\tg 14^\circ}{1-\tg 16^\circ \tg 14^\circ} =\tg(16^\circ+14^\circ) =\tg 30^\circ =\frac{\sqrt{3}}{3}. $$

3. Преобразуем левую часть по формуле тангенса суммы:

   $$ \frac{\tg 4\alpha-\tg 3\alpha}{1+\tg 4\alpha \tg 3\alpha} +\frac{\tg 3\alpha-\tg 2\alpha}{1+\tg 3\alpha \tg 2\alpha} =\tg(4\alpha-3\alpha)+\tg(3\alpha-2\alpha). $$

   Тогда

   $$ \tg\alpha+\tg\alpha=2\tg\alpha. $$

   Равенство доказано.

4. Используем формулу двойного угла:

   $$ \tg 2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}. $$

   При $$\tg\alpha=\frac13$$ имеем:

   $$ \tg 2\alpha=\frac{2\cdot \frac13}{1-\left(\frac13\right)^2} =\frac{\frac23}{1-\frac19} =\frac{\frac23}{\frac89} =\frac34. $$

5. Найдём $$\tg 105^\circ$$:

   $$ \tg 105^\circ=\tg(60^\circ+45^\circ) =\frac{\tg 60^\circ+\tg 45^\circ}{1-\tg 60^\circ \tg 45^\circ} =\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}. $$

   Рационализуем знаменатель:

   $$ \tg 105^\circ=\frac{(\sqrt{3}+1)(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} =\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{1-3} =\frac{4+2\sqrt{3}}{-2} =-2-\sqrt{3}. $$

Ответ

1) $$\frac{9}{17};\ \frac{3}{19}$$

2) а) $$\sqrt{3}$$; б) $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$

3) $$2\tg\alpha$$

4) $$\frac34$$

5) $$-2-\sqrt{3}$$