Самостоятельная работа 36 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) sin(35°)cos(5°);
б) cos(37°)cos(23°);
в) sin(36°)sin(24°).
2. Вычислите:
а) sin(70°)cos(65°)-sin(25°)cos(20°);
б) cos(?/9)cos(?/18)-sin(7?/36)sin(5?/36).

1. Используем формулы произведения тригонометрических функций:

   $$\sin A \cos B=\frac12\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr),$$

   $$\cos A \cos B=\frac12\bigl(\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr),$$

   $$\sin A \sin B=\frac12\bigl(\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr).$$

   Тогда

   $$\sin 35^\circ \cos 5^\circ=\frac12\bigl(\sin 40^\circ+\sin 30^\circ\bigr)=\frac12\sin 40^\circ+\frac14,$$

   $$\cos 37^\circ \cos 23^\circ=\frac12\bigl(\cos 60^\circ+\cos 14^\circ\bigr)=\frac14+\frac12\cos 14^\circ,$$

   $$\sin 36^\circ \sin 24^\circ=\frac12\bigl(\cos 12^\circ-\cos 60^\circ\bigr)=\frac12\cos 12^\circ-\frac14.$$

2. Вычислим значения выражений:

   $$\sin 70^\circ \cos 65^\circ-\sin 25^\circ \cos 20^\circ$$

   $$=\frac12\bigl(\sin 135^\circ+\sin 5^\circ\bigr)-\frac12\bigl(\sin 45^\circ+\sin 5^\circ\bigr)$$

   $$=\frac12\sin 135^\circ-\frac12\sin 45^\circ=0,$$

   так как $$\sin 135^\circ=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Далее:

   $$\cos \frac{\pi}{9}\cos \frac{\pi}{18}-\sin \frac{7\pi}{36}\sin \frac{5\pi}{36}$$

   $$=\frac12\left(\cos \frac{\pi}{18}+\cos \frac{\pi}{6}\right)-\frac12\left(\cos \frac{\pi}{18}-\cos \frac{\pi}{3}\right)$$

   $$=\frac12\cos \frac{\pi}{6}+\frac12\cos \frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\cdot\frac12=\frac{\sqrt3+1}{4}.$$

Ответ

1) а) $$\frac12\sin 40^\circ+\frac14$$; б) $$\frac14+\frac12\cos 14^\circ$$; в) $$\frac12\cos 12^\circ-\frac14$$.
2) а) $$0$$; б) $$\frac{\sqrt3+1}{4}$$.