Самостоятельная работа 35 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) 2sin(?/12)cos(?/12);
б) (cos(?/8)-sin(?/8))(cos(?/8)+sin(?/8)).
2. Вычислите sin(2?) и cos(2?), если cos(?)=0,8 и 3?/2 < ? < 2?. 3. Докажите равенство cos(2?)=(1-tg^2(?))/(1+tg^2(?)), если ???/2+?n, n?Z. 4. Вычислите: a) sin(22°30'); б) cos(15°). 5. Вычислите sin(?/2) и cos(?/2), если cos(?)=-1/8, ? < ? < 3?/2.

1. Вычислим:

   а)
   $$2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}=\sin\frac{2\pi}{12}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12;$$

   б)
   $$ \left(\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}\right)\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right) =\cos^2\frac{\pi}{8}-\sin^2\frac{\pi}{8} =\cos\frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt2}{2}. $$

2. Дано: $$\cos\alpha=0{,}8,\quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$

   Так как угол лежит в IV четверти, то $$\sin\alpha<0.$$

   $$ \sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha} =-\sqrt{1-0{,}64} =-\sqrt{0{,}36} =-0{,}6. $$

   $$ \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot(-0{,}6)\cdot0{,}8=-0{,}96; $$

   $$ \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=0{,}64-0{,}36=0{,}28. $$

3. Докажем равенство:

   $$ \frac{1-\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha} =\frac{1-\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2}{1+\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2} =\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha} =\cos^2\alpha-\sin^2\alpha =\cos2\alpha. $$

4. Вычислим:

   а)
   $$ \sin22^\circ30’=\sqrt{\frac{1-\cos45^\circ}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}} =\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{4}} =\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}; $$

   б)
   $$ \cos15^\circ=\sqrt{\frac{1+\cos30^\circ}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{2}} =\sqrt{\frac{2+\sqrt3}{4}} =\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}. $$

5. Дано: $$\cos\alpha=-\frac18,\quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

   Тогда $$\frac{\alpha}{2}\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right),$$ значит, $$\sin\frac{\alpha}{2}>0,\quad \cos\frac{\alpha}{2}<0.$$

   $$ \sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} =\sqrt{\frac{1-\left(-\frac18\right)}{2}} =\sqrt{\frac{9}{16}} =\frac34; $$

   $$ \cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} =-\sqrt{\frac{1-\frac18}{2}} =-\sqrt{\frac{7}{16}} =-\frac{\sqrt7}{4}. $$

Ответ

1) а) $$\frac12$$; б) $$\frac{\sqrt2}{2}$$.
2) $$-0{,}96;\ 0{,}28$$.
3) $$\cos2\alpha=\frac{1-\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha}$$.
4) а) $$\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}$$; б) $$\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}$$.
5) $$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac34,\ \cos\frac{\alpha}{2}=-\frac{\sqrt7}{4}$$.