Самостоятельная работа 34 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) sin(80°)+sin(40°); б) sin(80°)-sin(40°);
в) cos(80°)+cos(80°); г) cos(80°)-cos(40°).
2. Докажите равенство sin(160°)-sin(100°)=-cos(50°).
3. Вычислите sin(13?/12)+sin(7?/12)-cos(5?/12)+cos(?/12).
4. Запишите в виде произведения sin(19°)+sin(17°)+sin(15°).
5. Докажите равенство 2sin(50°)-1/(2sin(70°))=1.

1. Используем формулы приведения суммы и разности тригонометрических функций:

   $$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$
   $$\sin \alpha-\sin \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}$$
   $$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$
   $$\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}$$

   а) $$\sin 80^\circ+\sin 40^\circ=2\sin 60^\circ\cos 20^\circ=\sqrt{3}\cos 20^\circ;$$

   б) $$\sin 80^\circ-\sin 40^\circ=2\cos 60^\circ\sin 20^\circ=\sin 20^\circ;$$

   в) $$\cos 80^\circ+\cos 40^\circ=2\cos 60^\circ\cos 20^\circ=\cos 20^\circ;$$

   г) $$\cos 80^\circ-\cos 40^\circ=-2\sin 60^\circ\sin 20^\circ=-\sqrt{3}\sin 20^\circ.$$

2. Преобразуем левую часть:

   $$\sin 160^\circ-\sin 100^\circ=2\cos \frac{160^\circ+100^\circ}{2}\sin \frac{160^\circ-100^\circ}{2}$$
   $$=2\cos 130^\circ\sin 30^\circ$$
   $$=2\cdot(-\cos 50^\circ)\cdot \frac12=-\cos 50^\circ.$$

3. Вычислим значение выражения

   $$A=\sin \frac{13\pi}{12}+\sin \frac{7\pi}{12}-\cos \frac{5\pi}{12}+\cos \frac{\pi}{12}.$$

   Группируем слагаемые:
   $$A=\left(\sin \frac{13\pi}{12}+\sin \frac{7\pi}{12}\right)+\left(\cos \frac{\pi}{12}-\cos \frac{5\pi}{12}\right).$$

   Тогда
   $$\sin \frac{13\pi}{12}+\sin \frac{7\pi}{12}=2\sin \frac{5\pi}{6}\cos \frac{\pi}{4},$$
   $$\cos \frac{\pi}{12}-\cos \frac{5\pi}{12}=2\sin \frac{\pi}{4}\sin \frac{\pi}{6}.$$

   Следовательно,
   $$A=2\cdot \frac12 \cdot \frac{\sqrt2}{2}+2\cdot \frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac12=\sqrt2.$$

4. Преобразуем сумму:

   $$B=\sin 19^\circ+\sin 17^\circ+\sin 15^\circ$$
   $$=\left(\sin 19^\circ+\sin 15^\circ\right)+\sin 17^\circ$$
   $$=2\sin 17^\circ\cos 2^\circ+\sin 17^\circ$$
   $$=\sin 17^\circ\left(2\cos 2^\circ+1\right).$$

   Так как $$1=2\cos 60^\circ,$$ то
   $$B=2\sin 17^\circ\left(\cos 2^\circ+\cos 60^\circ\right).$$

   По формуле суммы косинусов:
   $$\cos 2^\circ+\cos 60^\circ=2\cos 31^\circ\cos 29^\circ.$$

   Значит,
   $$B=4\sin 17^\circ\cos 29^\circ\cos 31^\circ.$$

5. Докажем равенство:

   $$2\sin 50^\circ-\frac{1}{2\sin 70^\circ}=1.$$

   Умножим обе части на $$\sin 70^\circ$$:
   $$2\sin 50^\circ\sin 70^\circ-\frac12=\sin 70^\circ.$$

   Перенесём $$\frac12$$ в правую часть:
   $$2\sin 50^\circ\sin 70^\circ=\sin 70^\circ+\frac12.$$

   Используем формулу произведения:
   $$2\sin 50^\circ\sin 70^\circ=\cos 20^\circ-\cos 120^\circ.$$

   Так как $$\cos 120^\circ=-\frac12,$$ то
   $$2\sin 50^\circ\sin 70^\circ=\cos 20^\circ+\frac12.$$

   А поскольку $$\cos 20^\circ=\sin 70^\circ,$$ получаем
   $$2\sin 50^\circ\sin 70^\circ=\sin 70^\circ+\frac12,$$
   что и требовалось доказать.

Ответ

1) а) $$\sqrt3\cos 20^\circ$$; б) $$\sin 20^\circ$$; в) $$\cos 20^\circ$$; г) $$-\sqrt3\sin 20^\circ$$.
2) $$\sin 160^\circ-\sin 100^\circ=-\cos 50^\circ$$.
3) $$\sqrt2$$.
4) $$4\sin 17^\circ\cos 29^\circ\cos 31^\circ$$.
5) равенство верно.