Самостоятельная работа 33 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) cos(5?/2-?); б) sin(3?+?); в) cos(7?/2+?).
2. Вычислите 2sin(7?/2-?)-5cos(17?-?), если cos(?)=-0,3.
3. Вычислите (3cos(?/2+?)+2sin(?-?))/(2cos(?+?)-3sin(3?/2+?), если tg(?)=4.
4. Докажите равенство (4cos(25°)-3sin(65°))/sin(115°)=1.

1. Используем формулы приведения:

   $$\cos\left(\frac{5\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\left(2\pi+\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$$

   $$\sin(3\pi+\alpha)=\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$$

   $$\cos\left(\frac{7\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\left(2\pi+\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha$$

2. Вычислим значение выражения

   $$A=2\sin\left(\frac{7\pi}{2}-\alpha\right)-5\cos(17\pi-\alpha), \quad \cos\alpha=-0{,}3.$$

   $$\sin\left(\frac{7\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\left(3\pi+\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha,$$

   $$\cos(17\pi-\alpha)=\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha.$$

   Тогда
   $$A=2\cos\alpha-5(-\cos\alpha)=7\cos\alpha=7\cdot(-0{,}3)=-2{,}1.$$

3. Вычислим значение выражения

   $$B=\frac{3\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)+2\sin(\pi-\alpha)}{2\cos(\pi+\alpha)-3\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}, \quad \tg\alpha=4.$$

   Используем формулы:
   $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha,\quad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,$$
   $$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha,\quad \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha.$$

   Тогда
   $$B=\frac{3(-\sin\alpha)+2\sin\alpha}{2(-\cos\alpha)-3(-\cos\alpha)}=\frac{-\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\tg\alpha=-4.$$

4. Докажем равенство:

   $$\frac{4\cos 25^\circ-3\sin 65^\circ}{\sin 115^\circ}=1.$$

   Так как
   $$\sin 65^\circ=\cos 25^\circ,\quad \sin 115^\circ=\sin(90^\circ+25^\circ)=\cos 25^\circ,$$
   то

   $$\frac{4\cos 25^\circ-3\cos 25^\circ}{\cos 25^\circ}=\frac{\cos 25^\circ}{\cos 25^\circ}=1.$$

Ответ

1) $$\sin\alpha,\ -\sin\alpha,\ \sin\alpha$$
2) $$-2{,}1$$
3) $$-4$$
4) $$1$$