Самостоятельная работа 32 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) cos(72°)cos(42°)+sin(72°)sin(42°);
б) cos(?/5)cos(2?/15)-sin(2?/15)sin(?/5).
2. Упростите выражение sin(2x+3y)cos(x-3y)+sin(x-3y)cos(2x+3y).
3. Вычислите (sin(54°)cos(24°)-sin(24°)cos(54°))/(cos(57°)cos(27°)+sin(57°)sin(27°)).
4. Сравните (sin(59°)cos(61°)+sin(61°)cos(59°))/(cos(58°)cos(62°)-sin(62°)sin(58°)) и (sin(36°)+cos(36°))/(cos(18°)-sin(18°)).
5. Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения sin(x)-cos(x).
6. Вычислите sin(arcsin(5/13)-arcsin(0,8)).

1. Используем формулу $$\cos A \cos B+\sin A \sin B=\cos(A-B).$$

   а)
   $$ \cos 72^\circ \cos 42^\circ+\sin 72^\circ \sin 42^\circ =\cos(72^\circ-42^\circ)=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

   б)
   $$ \cos \frac{\pi}{5}\cos \frac{2\pi}{15}-\sin \frac{2\pi}{15}\sin \frac{\pi}{5} =\cos\left(\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi}{15}\right) =\cos \frac{5\pi}{15} =\cos \frac{\pi}{3} =\frac12. $$

2. Применим формулу $$\sin A \cos B+\sin B \cos A=\sin(A+B).$$

   $$ \sin(2x+3y)\cos(x-3y)+\sin(x-3y)\cos(2x+3y) =\sin\bigl((2x+3y)+(x-3y)\bigr) =\sin 3x. $$

3. $$ \frac{\sin 54^\circ \cos 24^\circ-\sin 24^\circ \cos 54^\circ} {\cos 57^\circ \cos 27^\circ+\sin 57^\circ \sin 27^\circ} = \frac{\sin(54^\circ-24^\circ)}{\cos(57^\circ-27^\circ)} = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}. $$

4. $$ A=\frac{\sin 59^\circ \cos 61^\circ+\sin 61^\circ \cos 59^\circ} {\cos 58^\circ \cos 62^\circ-\sin 62^\circ \sin 58^\circ} = \frac{\sin(59^\circ+61^\circ)}{\cos(58^\circ+62^\circ)} = \frac{\sin 120^\circ}{\cos 120^\circ} =\tan 120^\circ<0. $$

   $$ B=\frac{\sin 36^\circ+\cos 36^\circ}{\cos 18^\circ-\sin 18^\circ}>0. $$

   Значит, $$B>A$$, то есть первое выражение меньше второго.

5. $$ \sin x-\cos x =\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right) =\sqrt{2}\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}-\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right) =\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right). $$

   Так как $$-1\le \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то

   $$ -\sqrt{2}\le \sin x-\cos x\le \sqrt{2}. $$

6. Пусть $$\alpha=\arcsin\frac{5}{13},\quad \beta=\arcsin 0{,}8.$$ Тогда
   $$ \sin\alpha=\frac{5}{13},\qquad \sin\beta=0{,}8=\frac45. $$

   Найдём косинусы:
   $$ \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}, $$
   $$ \cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-0{,}64}=0{,}6=\frac35. $$

   Тогда
   $$ \sin\left(\arcsin\frac{5}{13}-\arcsin 0{,}8\right) =\sin(\alpha-\beta) =\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta $$
   $$ =\frac{5}{13}\cdot\frac35-\frac{12}{13}\cdot\frac45 =\frac{3}{13}-\frac{48}{65} =\frac{15-48}{65} =-\frac{33}{65}. $$

Ответ

1) а) $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$; б) $$\frac12$$.
2) $$\sin 3x$$.
3) $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$.
4) Первое выражение меньше второго.
5) Наименьшее значение: $$-\sqrt{2}$$, наибольшее значение: $$\sqrt{2}$$.
6) $$-\frac{33}{65}$$.