Самостоятельная работа 31 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Вычислите:
а) arctg(-1); б) arctg(-v3/3);
в) arcctg(1); г) arcctg(-v3).
3. Вычислите:
а) tg(arcctg(3/7)); б) ctg(arctg(-5/11));
в) sin(arctg(5/12)); г) cos(arcctg(-4/3)).
4. Вычислите sin(arcctg(?)).

1. Для углов вида $$\arctg x$$ и $$\arcctg x$$ используем определения:

   $$\tg(\arctg x)=x,\qquad \ctg(\arcctg x)=x.$$

   Тогда для заданных углов получаем:

   $$\alpha=\arctg\frac{5}{4},\quad \tg\alpha=\frac{5}{4},\quad \ctg\alpha=\frac{4}{5};$$
   $$\beta=\arctg\left(-\frac{1}{4}\right),\quad \tg\beta=-\frac{1}{4},\quad \ctg\beta=-4;$$
   $$\varphi=\arcctg\left(-\frac{5}{4}\right),\quad \tg\varphi=-\frac{4}{5},\quad \ctg\varphi=-\frac{5}{4};$$
   $$\gamma=\arcctg\frac{1}{4},\quad \tg\gamma=4,\quad \ctg\gamma=\frac{1}{4}.$$

2. Вычислим значения:

   $$\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4};$$
   $$\arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\pi}{6};$$
   $$\arcctg 1=\frac{\pi}{4};$$
   $$\arcctg(-\sqrt{3})=\frac{5\pi}{6}.$$

3. Вычислим выражения:

   $$\tg\left(\arcctg\frac{3}{7}\right)=\frac{1}{\ctg\left(\arcctg\frac{3}{7}\right)}=\frac{1}{\frac{3}{7}}=\frac{7}{3};$$
   $$\ctg\left(\arctg\left(-\frac{5}{11}\right)\right)=\frac{1}{\tg\left(\arctg\left(-\frac{5}{11}\right)\right)}=\frac{1}{-\frac{5}{11}}=-\frac{11}{5}.$$

   Пусть $$\alpha=\arctg\frac{5}{12}.$$ Тогда $$\tg\alpha=\frac{5}{12}$$ и
   $$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{25}{144}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{169}{144}}}=\frac{12}{13}.$$
   Следовательно,
   $$\sin\left(\arctg\frac{5}{12}\right)=\frac{5}{13}.$$

   Пусть $$\beta=\arcctg\left(-\frac{4}{3}\right).$$ Тогда $$\ctg\beta=-\frac{4}{3}$$ и
   $$\sin\beta=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2\beta}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{16}{9}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{25}{9}}}=\frac{3}{5}.$$
   Поэтому
   $$\cos\left(\arcctg\left(-\frac{4}{3}\right)\right)=-\frac{4}{5}.$$

4. Используем формулы:

   $$\sin(\arcctg a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}},\qquad \cos(\arctg a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}.$$

   Тогда

   $$\sin(\arcctg a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}.$$

Ответ

1) $$\tg\alpha=\frac{5}{4},\ \ctg\alpha=\frac{4}{5};\ \tg\beta=-\frac{1}{4},\ \ctg\beta=-4;\ \tg\varphi=-\frac{4}{5},\ \ctg\varphi=-\frac{5}{4};\ \tg\gamma=4,\ \ctg\gamma=\frac{1}{4}.$$
2) $$-\frac{\pi}{4},\ -\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{6}.$$
3) $$\frac{7}{3},\ -\frac{11}{5},\ \frac{5}{13},\ -\frac{4}{5}.$$
4) $$\sin(\arcctg a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}.$$