Самостоятельная работа 30 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Вычислите (tg(?)+ctg(?))·sin(?), если cos(?)=0,6.
3. Докажите равенство (tg(?+7?)+1)(ctg(-?)+1)/((tg(-?)+1)(ctg(?)+1))=-1, для тех ?, для которых определена левая часть равенства.

1. Дано: $$\sin \alpha=-\frac45,\quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

   Так как угол лежит в III четверти, то $$\cos \alpha<0.$$ Найдём косинус:

   $$ \cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha} =-\sqrt{1-\frac{16}{25}} =-\sqrt{\frac{9}{25}} =-\frac35. $$

   Тогда

   $$ \tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =\frac{-\frac45}{-\frac35} =\frac43, \qquad \ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha}=\frac34. $$

2. Вычислим:

   $$ S=(\tg \alpha+\ctg \alpha)\cdot \sin \alpha. $$

   Подставим выражения через синус и косинус:

   $$ S=\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)\sin \alpha =\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\cos \alpha} =\frac{1}{\cos \alpha}. $$

   Если $$\cos \alpha=0{,}6=\frac35,$$ то

   $$ S=\frac{1}{0{,}6}=\frac53. $$

3. Преобразуем левую часть:

   $$ \frac{(\tg(\alpha+7\pi)+1)(\ctg(-\alpha)+1)}{(\tg(-\alpha)+1)(\ctg \alpha+1)}. $$

   Используем формулы:

   $$ \tg(\alpha+7\pi)=\tg \alpha,\qquad \tg(-\alpha)=-\tg \alpha,\qquad \ctg(-\alpha)=-\ctg \alpha. $$

   Тогда

   $$ \frac{(\tg \alpha+1)(1-\ctg \alpha)}{(1-\tg \alpha)(\ctg \alpha+1)}. $$

   Так как $$\tg \alpha\cdot \ctg \alpha=1,$$ то

   $$ 1-\ctg \alpha=\frac{\tg \alpha-1}{\tg \alpha},\qquad 1-\tg \alpha=-\frac{\tg \alpha-1}{1}. $$

   После сокращения получаем:

   $$ \frac{(\tg \alpha+1)(1-\ctg \alpha)}{(1-\tg \alpha)(\ctg \alpha+1)}=-1. $$

Ответ

1) $$\cos \alpha=-\frac35,\ \tg \alpha=\frac43,\ \ctg \alpha=\frac34.$$
2) $$\frac53.$$
3) $$-1.$$