Самостоятельная работа 3 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
а) 2x^2-5x+2=0; б) x^2-6x+9=0; в) 2x^2+3x+2=0.
2. Верно ли, что число x_1=1 является корнем уравнения:
а) x^2+100x-101=0; б) x^2-4x+3=0; в) 3x^2-4x+1=0?
Если да, то найдите корень x_2 и разложите квадратный трехчлен в левой части уравнения на линейные множители.
3. Если квадратное уравнение x^2-13x-3=0 имеет корни x_1 и x_2, то, не вычисляя их, найдите значение числового выражения x_1^2+x_2^2.
Решим квадратные уравнения.
а) $$2x^2-5x+2=0$$
$$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2\cdot 2}$$
$$x_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad x_2=\frac{5+3}{4}=2$$
б) $$x^2-6x+9=0$$
$$x^2-6x+9=(x-3)^2$$
$$x=3$$
в) $$2x^2+3x+2=0$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 2=9-16=-7<0$$
Корней нет.
Проверим, является ли число $$x_1=1$$ корнем уравнения, и найдём второй корень.
а) $$x^2+100x-101=0$$
$$f(1)=1+100-101=0$$
Значит, $$x_1=1$$ — корень.
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=-100$$
$$1+x_2=-100,\qquad x_2=-101$$
$$x^2+100x-101=(x-1)(x+101)$$
б) $$x^2-4x+3=0$$
$$f(1)=1-4+3=0$$
Значит, $$x_1=1$$ — корень.
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=4$$
$$1+x_2=4,\qquad x_2=3$$
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$$
в) $$3x^2-4x+1=0$$
$$f(1)=3-4+1=0$$
Значит, $$x_1=1$$ — корень.
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=\frac43$$
$$1+x_2=\frac43,\qquad x_2=\frac13$$
$$3x^2-4x+1=(3x-1)(x-1)$$
Пусть корни уравнения $$x^2-13x-3=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Найдём $$x_1^2+x_2^2$$, не вычисляя корни.
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=13,\qquad x_1x_2=-3$$
Тогда
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$
$$x_1^2+x_2^2=13^2-2\cdot(-3)=169+6=175$$
Ответ
1) а) $$\frac12,\ 2$$; б) $$3$$; в) корней нет.
2) а) да, $$x_2=-101$$, $$x^2+100x-101=(x-1)(x+101)$$; б) да, $$x_2=3$$, $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$$; в) да, $$x_2=\frac13$$, $$3x^2-4x+1=(3x-1)(x-1)$$.
3) $$175$$.
