Самостоятельная работа 29 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам ?, ? и ? (рис. 37). Определите значения тангенса и котангенса этих углов.
3. Изобразите на единичной окружности точки, соответствующие всем таким углам ?, для каждого из которых справедливо равенство:
а) tg(?)=0; б) tg(?)=-v3/3;
в) ctg(?)=-1; г) ctg(?)=-v3.
Запишите все такие углы ?.

1. Для прямоугольного треугольника с катетами $$m$$ и $$n$$:

   $$\tg \alpha=\frac{m}{n}, \qquad \ctg \alpha=\frac{n}{m}.$$

2. По единичной окружности находим значения тригонометрических функций для отмеченных углов:

   $$x’=\sqrt{3}, \quad \tg \beta=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \ctg \beta=-\sqrt{3};$$

   $$y’=\sqrt{3}, \quad \tg \gamma=\sqrt{3}, \quad \ctg \gamma=\frac{\sqrt{3}}{3};$$

   $$x’=y’=1, \quad \tg \alpha=\ctg \alpha=1.$$

3. Найдём все углы, для которых выполняются данные равенства:

   а) $$\tg \alpha=0$$

   Тангенс равен нулю при углах $$\alpha=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   б) $$\tg \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   Это соответствует углу $$-\frac{\pi}{6}$$, поэтому

   $$\alpha=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   в) $$\ctg \alpha=-1$$

   Это соответствует углу $$-\frac{\pi}{4}$$, значит

   $$\alpha=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   г) $$\ctg \alpha=-\sqrt{3}$$

   Это соответствует углу $$-\frac{\pi}{6}$$, поэтому

   $$\alpha=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$\tg \alpha=\frac{m}{n}, \ \ctg \alpha=\frac{n}{m}.$$

2) $$\tg \beta=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \ \ctg \beta=-\sqrt{3}; \quad \tg \gamma=\sqrt{3}, \ \ctg \gamma=\frac{\sqrt{3}}{3}; \quad \tg \alpha=\ctg \alpha=1.$$

3) а) $$\alpha=\pi n$$; б) $$\alpha=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$; в) $$\alpha=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$; г) $$\alpha=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$