Контрольная работа 2 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) (3^6)^(1/6)=-3; б) (4^6)^(1/6)=4;
в) ((-5)^6)^(1/6)=5; г) ((-6)^6)^(1/6)=-6?
2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) 5/3^(1/3); б) 2^(1/3)/(2^(1/3)-1); в) 6/(25^(1/3)-5^(1/3)+1).
3. Вычислите:
а) (800^2-2·800·175+175^2)^(1/4);
б) (789^3+3·789^2·211+3·789·211^2+211^3)^(1/3).
4. Упростите выражение (vx+vy)(x^(1/4)-y^(1/4))(x^(1/4)+y^(1/4).
5*. Вычислите 125^(1/3)-625^(1/4)+4/(v6+v2)-36^(1/4)+4^(1/4).
6*. Найдите значение выражения (xv(x(x^(1/3))))^(1/4) при x=(27^4)^(1/5).
7*. Велосипедист и мотоциклист отправились одновременно из пункта А в пункт В. Скорость мотоциклиста была в 3 раза больше скорости велосипедиста, но в пути он сделал остановку для устранения поломки мотоцикла и поэтому в пункт В прибыл на 5 мин позже велосипедиста, который на весь путь затратил 60 мин. Сколько минут мотоциклист устранял поломку мотоцикла?

1. Используем свойство корня чётной степени: $$\sqrt[6]{a^6}=|a|.$$

   а) $$\left(3^6\right)^{\frac16}=3,$$ значит равенство неверно;
   б) $$\left(4^6\right)^{\frac16}=4,$$ значит равенство верно;
   в) $$\left((-5)^6\right)^{\frac16}=5,$$ значит равенство верно;
   г) $$\left((-6)^6\right)^{\frac16}=6,$$ значит равенство неверно.

2. Избавимся от иррациональности в знаменателе.

   а) $$\frac{5}{\sqrt[3]{3}}=\frac{5\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{5\sqrt[3]{9}}{3};$$

   б) $$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}-1}=\frac{\sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1\right)}{(\sqrt[3]{2}-1)\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1\right)}=\frac{\sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1\right)}{2-1}$$
   $$=\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}=2+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2};$$

   в) $$\frac{6}{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1}=\frac{6(\sqrt[3]{5}+1)}{(\sqrt[3]{5}+1)(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1)}$$
   $$=\frac{6(\sqrt[3]{5}+1)}{5- \sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1}=\sqrt[3]{5}+1.$$

3. а) $$\sqrt[4]{800^2-2\cdot 800\cdot 175+175^2}=\sqrt[4]{(800-175)^2}=\sqrt[4]{625^2}=\sqrt{625}=25;$$

   б) $$\sqrt[3]{789^3+3\cdot 789^2\cdot 211+3\cdot 789\cdot 211^2+211^3}=\sqrt[3]{(789+211)^3}=\sqrt[3]{1000^3}=1000.$$

4. $$\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}\right)\left(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}\right)$$
   $$=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)=x-y.$$

5. $$\sqrt[3]{125}-\sqrt[4]{625}+\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}-\sqrt[4]{36}+\sqrt[4]{4}$$
   $$=5-5+\frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}$$
   $$=\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}=0.$$

6. $$\sqrt[4]{x\sqrt{x\sqrt[3]{x}}}=\sqrt[4]{x\cdot \sqrt{x\cdot x^{1/3}}}=\sqrt[4]{x\cdot \sqrt{x^{4/3}}}=\sqrt[4]{x\cdot x^{2/3}}=\sqrt[4]{x^{5/3}}.$$

   При $$x=\left(27^4\right)^{1/5}=27^{4/5}$$ получаем:
   $$\sqrt[4]{x^{5/3}}=\sqrt[4]{\left(27^{4/5}\right)^{5/3}}=\sqrt[4]{27^{4/3}}=\sqrt[4]{81}=3.$$

7. Пусть велосипедист затратил на весь путь $$60$$ мин, тогда мотоциклист без остановки затратил бы в 3 раза меньше:

   $$\frac{60}{3}=20 \text{ мин}.$$

   По условию мотоциклист прибыл на $$5$$ мин позже, значит его общее время в пути:

   $$60+5=65 \text{ мин}.$$

   Тогда время остановки:

   $$65-20=45 \text{ мин}.$$

Ответ

1) а) нет; б) да; в) да; г) нет.
2) а) $$\frac{5\sqrt[3]{9}}{3}$$; б) $$2+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}$$; в) $$\sqrt[3]{5}+1$$.
3) а) $$25$$; б) $$1000$$.
4) $$x-y$$.
5) $$0$$.
6) $$3$$.
7) $$45$$ мин.