Самостоятельная работа 28 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Вычислите:
а) arcsin(1); б) arcsin(-v3/2);
в) arccos(0); г) arccos(-1/2).
3. Упростите (3—4).
а) sin(arcsin(2/3)); б) cos(arccos(1/5));
в) sin(arccos(3/5)); г) cos(arcsin(-4/5)).
4. а) arcsin(sin(?/7)); б) arccos(sin(0,7?)); г) arccos(cos(4)).

1. Для обратных тригонометрических функций учитываем области значений:

   $$\arcsin x \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], \qquad \arccos x \in [0,\pi].$$

   Тогда:

   $$\alpha=\arcsin\frac14,\quad \sin\alpha=\frac14,$$
   $$\beta=\arcsin\left(-\frac14\right),\quad \sin\beta=-\frac14,$$
   $$\gamma=\arccos\frac14,\quad \cos\gamma=\frac14,$$
   $$\varphi=\arccos\left(-\frac14\right),\quad \cos\varphi=-\frac14.$$

2. Вычислим значения:

   $$\arcsin 1=\frac{\pi}{2},$$
   $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3},$$
   $$\arccos 0=\frac{\pi}{2},$$
   $$\arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}.$$

3. Используем свойства обратных тригонометрических функций:

   $$\sin(\arcsin x)=x,\qquad \cos(\arccos x)=x.$$

   $$\sin\left(\arcsin\frac23\right)=\frac23,$$
   $$\cos\left(\arccos\frac15\right)=\frac15.$$

   $$\sin\left(\arccos\frac35\right)=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2} =\sqrt{1-\frac{9}{25}} =\sqrt{\frac{16}{25}} =\frac45.$$

   $$\cos\left(\arcsin\left(-\frac45\right)\right)=\sqrt{1-\left(-\frac45\right)^2} =\sqrt{1-\frac{16}{25}} =\sqrt{\frac{9}{25}} =\frac35.$$

4. Упростим выражения:

   $$\arcsin\left(\sin\frac{\pi}{7}\right)=\frac{\pi}{7},$$
   так как $$-\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{7}<\frac{\pi}{2}.$$

   $$\arccos(\sin 0{,}7\pi)=\arccos(\cos(0{,}5\pi-0{,}7\pi))=\arccos(\cos 0{,}2\pi)=0{,}2\pi.$$

   $$\arccos(\cos 4)=\arccos(\cos(2\pi-4))=2\pi-4,$$
   так как $$0\le 2\pi-4\le \pi.$$

Ответ

1) $$\alpha=\arcsin\frac14,\ \beta=\arcsin\left(-\frac14\right),\ \gamma=\arccos\frac14,\ \varphi=\arccos\left(-\frac14\right).$$

2) а) $$\frac{\pi}{2}$$; б) $$-\frac{\pi}{3}$$; в) $$\frac{\pi}{2}$$; г) $$\frac{2\pi}{3}$$.

3) а) $$\frac23$$; б) $$\frac15$$; в) $$\frac45$$; г) $$\frac35$$.

4) а) $$\frac{\pi}{7}$$; б) $$0{,}2\pi$$; в) $$2\pi-4$$.