Самостоятельная работа 27 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Докажите, что для любых ? справедливо равенство cos(?-?)=-cos(?).
3. Вычислите (sin(9?/4)-cos(11?/4))·sin(-3,5?):cos(-28?/3).
4. Вычислите v((1-cos(?))/(1+cos(?)))+v((1+cos(?))/(1-cos(?))), если sin(?)=-2/5.

1. Дано: $$\cos \alpha=-\frac45,\quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$

   Так как угол $$\alpha$$ лежит во II четверти, то $$\sin \alpha>0$$. Тогда

   $$ \sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-\frac{16}{25}} =\sqrt{\frac{9}{25}} =\frac35. $$

2. Используем формулу:

   $$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha.$$

   Следовательно, равенство верно для любых $$\alpha$$.

3. Вычислим:

   $$ S=\left(\sin\frac{9\pi}{4}-\cos\frac{11\pi}{4}\right)\cdot \sin(-3{,}5\pi):\cos\left(-\frac{28\pi}{3}\right). $$

   Приведём аргументы к удобному виду:

   $$ \sin\frac{9\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \cos\frac{11\pi}{4}=\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}, $$

   поэтому

   $$ \sin\frac{9\pi}{4}-\cos\frac{11\pi}{4} =\frac{\sqrt2}{2}-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\sqrt2. $$

   Далее:

   $$ \sin(-3{,}5\pi)=\sin\left(-\frac{7\pi}{2}\right)=1, $$

   $$ \cos\left(-\frac{28\pi}{3}\right)=\cos\frac{28\pi}{3} =\cos\left(9\pi+\frac{\pi}{3}\right) =-\cos\frac{\pi}{3} =-\frac12. $$

   Тогда

   $$ S=\sqrt2\cdot 1:\left(-\frac12\right)=-2\sqrt2. $$

4. Найдём значение выражения:

   $$ S=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}+\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}, \qquad \sin\alpha=-\frac25. $$

   Сложим дроби под корнями:

   $$ S=\frac{(1-\cos\alpha)+(1+\cos\alpha)}{\sqrt{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}} =\frac{2}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}} =\frac{2}{|\sin\alpha|}. $$

   Так как $$\sin\alpha=-\frac25$$, то $$|\sin\alpha|=\frac25$$. Значит,

   $$ S=\frac{2}{2/5}=5. $$

Ответ

1) $$\frac35$$; 2) верно; 3) $$-2\sqrt2$$; 4) $$5$$.