Самостоятельная работа 26 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам ?, ?, ? и ? (рис. 29). Определите значения синуса и косинуса каждого из этих углов.
3. Изобразите на единичной окружности точки, соответствующие всем таким углам ?, для каждого из которых справедливо равенство:
а) sin(?)=v3/2; б) sin(?)=-1/2;
в) cos(?)=1; г) cos(?)=-v2/2.
Запишите все такие углы ?.

1. Для прямоугольного треугольника по определению:

   $$\sin \alpha=\frac{x}{z}, \qquad \cos \alpha=\frac{y}{z}.$$

2. По точкам на единичной окружности получаем:

   $$\alpha=\frac{\pi}{4}, \qquad \sin \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2};$$

   $$\beta=\frac{3\pi}{4}, \qquad \sin \beta=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos \beta=-\frac{\sqrt{2}}{2};$$

   $$\gamma=\frac{5\pi}{4}, \qquad \sin \gamma=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos \gamma=-\frac{\sqrt{2}}{2};$$

   $$\varphi=\frac{7\pi}{4}, \qquad \sin \varphi=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos \varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

3. Найдём все углы, для которых выполняются заданные равенства:

   а) $$\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Это углы

   $$\alpha=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad \alpha=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

   б) $$\sin \alpha=-\frac{1}{2}.$$

   Это углы

   $$\alpha=\frac{7\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad \alpha=\frac{11\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

   в) $$\cos \alpha=1.$$

   Тогда

   $$\alpha=2\pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

   г) $$\cos \alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Это углы

   $$\alpha=\frac{3\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad \alpha=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$\sin \alpha=\frac{x}{z}, \ \cos \alpha=\frac{y}{z}.$$

2) $$\alpha=\frac{\pi}{4},\ \beta=\frac{3\pi}{4},\ \gamma=\frac{5\pi}{4},\ \varphi=\frac{7\pi}{4}.$$

3) а) $$\alpha=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ или $$\alpha=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$; б) $$\alpha=\frac{7\pi}{6}+2\pi n$$ или $$\alpha=\frac{11\pi}{6}+2\pi n$$; в) $$\alpha=2\pi n$$; г) $$\alpha=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$ или $$\alpha=\frac{5\pi}{4}+2\pi n$$, $$n\in \mathbb{Z}.$$