Самостоятельная работа 23 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
а) 125·3^x-27·5^x=0;
б) 3^(x+1)-3^(x-1)=2^(4-x);
в) 27·4^x+8·9^x=30·6^x.
2. Решите неравенство:
а) 3^(x-1) > 3·5^(x-2);
б) 2^(x+3)-2^(x+2) < 3^(x+2);
в) 4·9^x-13·6^x+9·4^x < 0.
а) $$125\cdot 3^x-27\cdot 5^x=0$$
$$125\cdot 3^x=27\cdot 5^x$$
$$\left(\frac{5}{3}\right)^x=\frac{125}{27}=\left(\frac{5}{3}\right)^3$$
Следовательно, $$x=3$$.
б) $$3^{x+1}-3^{x-1}=2^{4-x}$$
$$3\cdot 3^x-\frac{1}{3}\cdot 3^x=16\cdot 2^{-x}$$
$$\frac{8}{3}\cdot 3^x=\frac{16}{2^x}$$
$$6^x=6$$
Отсюда $$x=1$$.
в) $$27\cdot 4^x+8\cdot 9^x=30\cdot 6^x$$
$$27\cdot 4^x-30\cdot 6^x+8\cdot 9^x=0$$
$$27\left(\frac{4}{9}\right)^x-30\left(\frac{2}{3}\right)^x+8=0$$
Положим $$y=\left(\frac{2}{3}\right)^x$$, тогда $$\left(\frac{4}{9}\right)^x=y^2$$. Получаем:
$$27y^2-30y+8=0$$
$$D=30^2-4\cdot 27\cdot 8=36$$
$$y_1=\frac{30-6}{2\cdot 27}=\frac{4}{9}, \qquad y_2=\frac{30+6}{2\cdot 27}=\frac{2}{3}$$
Тогда:
$$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{4}{9}=\left(\frac{2}{3}\right)^2 \Rightarrow x=2$$
$$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{2}{3}=\left(\frac{2}{3}\right)^1 \Rightarrow x=1$$
а) $$3^{x-1}>3\cdot 5^{x-2}$$
$$\frac{1}{3}\cdot 3^x>\frac{3}{25}\cdot 5^x$$
$$\left(\frac{5}{3}\right)^x<\frac{25}{9}=\left(\frac{5}{3}\right)^2$$
Так как основание $$\frac{5}{3}>1$$, то $$x<2$$.
б) $$2^{x+3}-2^{x+2}<3^{x+2}$$
$$8\cdot 2^x-4\cdot 2^x<9\cdot 3^x$$
$$4\cdot 2^x<9\cdot 3^x$$
$$\frac{3^x}{2^x}>\frac{4}{9}$$
$$\left(\frac{3}{2}\right)^x>\left(\frac{3}{2}\right)^{-2}$$
Следовательно, $$x>-2$$.
в) $$4\cdot 9^x-13\cdot 6^x+9\cdot 4^x<0$$
$$4\left(\frac{9}{4}\right)^x-13\left(\frac{3}{2}\right)^x+9<0$$
Положим $$y=\left(\frac{3}{2}\right)^x$$, тогда $$\left(\frac{9}{4}\right)^x=y^2$$. Получаем:
$$4y^2-13y+9<0$$
$$D=13^2-4\cdot 4\cdot 9=25$$
$$y_1=\frac{13-5}{8}=1, \qquad y_2=\frac{13+5}{8}=\frac{9}{4}$$
Так как коэффициент при $$y^2$$ положителен, то:
$$1
$$1<\left(\frac{3}{2}\right)^x<\frac{9}{4}$$
$$\left(\frac{3}{2}\right)^0<\left(\frac{3}{2}\right)^x<\left(\frac{3}{2}\right)^2$$
Отсюда $$0
Ответ
1) а) $$3$$; б) $$1$$; в) $$1, 2$$.
2) а) $$(-\infty; 2)$$; б) $$(-2; +\infty)$$; в) $$ (0; 2)$$.
