Самостоятельная работа 22 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. а) (1/3)^x?9; б) (0,5)^x?-0,5; в) 3^(x+1) < 1/27;
г) log(0,3; x)?2; д) log(3; 2x+1) < 3; е) 5^(x+2)-21·5^x < 20.
2. а) (1/4)^x-4·(1/2)^x > -4; б) 64^x+7·8^x-8?0;
в) (lg(x))^2-2lg(x)-3 < 0; г) (log(0,5; x))^2+log(0,5; x)-2 > 0.
3. а) log(4; 2,5)/(log(4; x)-1)?1; б) 9^x-6·3^x+8+1/(9^x-6·3^x+10) > 0;
в) (2+v3)^(2x)-4·(1/(2-v3))^x+1?0.
а) $$\left(\frac13\right)^x \ge 9$$
$$3^{-x} \ge 3^2$$
$$-x \ge 2$$
$$x \le -2$$
Ответ: $$(-\infty;\,-2]$$
б) $$\left(0{,}5\right)^x \ge -0{,}5$$
Так как $$\left(0{,}5\right)^x > 0$$ при любом $$x \in \mathbb{R}$$, то неравенство верно для всех действительных чисел.
Ответ: $$(-\infty;\,+\infty)$$
в) $$3^{x+1} < \frac{1}{27}$$
$$3^{x+1} < 3^{-3}$$
$$x+1 < -3$$
$$x < -4$$
Ответ: $$(-\infty;\,-4)$$
г) $$\log_{0{,}3} x \le 2$$
Так как $$0<0{,}3<1$$, знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:
$$x \ge 0{,}3^2$$
$$x \ge 0{,}09$$
Ответ: $$[0{,}09;\,+\infty)$$
д) $$\log_3(2x+1) < 3$$
ОДЗ: $$2x+1>0$$, то есть $$x>-\frac12$$.
$$2x+1 < 3^3$$
$$2x+1 < 27$$
$$2x < 26$$
$$x < 13$$
С учётом ОДЗ:
Ответ: $$\left(-\frac12;\,13\right)$$
е) $$5^{x+2}-21\cdot 5^x < 20$$
$$25\cdot 5^x-21\cdot 5^x < 20$$
$$4\cdot 5^x < 20$$
$$5^x < 5$$
$$x < 1$$
Ответ: $$(-\infty;\,1)$$
а) $$\left(\frac14\right)^x-4\cdot\left(\frac12\right)^x>-4$$
Положим $$y=\left(\frac12\right)^x$$, тогда $$\left(\frac14\right)^x=y^2$$.
Получаем:
$$y^2-4y>-4$$
$$y^2-4y+4>0$$
$$\left(y-2\right)^2>0$$
$$y\ne 2$$
$$\left(\frac12\right)^x \ne 2$$
$$2^{-x}\ne 2^1$$
$$-x\ne 1$$
$$x\ne -1$$
Ответ: $$(-\infty;\,-1)\cup(-1;\,+\infty)$$
б) $$64^x+7\cdot 8^x-8\le 0$$
Положим $$y=8^x$$, тогда $$64^x=(8^2)^x=8^{2x}=y^2$$.
Получаем:
$$y^2+7y-8\le 0$$
$$\left(y+8\right)\left(y-1\right)\le 0$$
$$-8\le y\le 1$$
Так как $$y=8^x>0$$, то $$0
$$8^x\le 1=8^0$$
$$x\le 0$$
Ответ: $$(-\infty;\,0]$$
в) $$\left(\lg x\right)^2-2\lg x-3<0$$
Положим $$y=\lg x$$. Тогда:
$$y^2-2y-3<0$$
$$\left(y+1\right)\left(y-3\right)<0$$
$$-1
$$-1<\lg x<3$$
$$10^{-1}
Ответ: $$(0{,}1;\,1000)$$
г) $$\left(\log_{0{,}5} x\right)^2+\log_{0{,}5} x-2>0$$
Положим $$y=\log_{0{,}5} x$$. Тогда:
$$y^2+y-2>0$$
$$\left(y+2\right)\left(y-1\right)>0$$
$$y<-2 \quad \text{или} \quad y>1$$
Так как основание $$0{,}5<1$$, получаем:
$$\log_{0{,}5} x<-2 \Rightarrow x>\left(\frac12\right)^{-2}=4$$
$$\log_{0{,}5} x>1 \Rightarrow 0
Ответ: $$(0;\,0{,}5)\cup(4;\,+\infty)$$
а) $$\frac{\log_4 2{,}5}{\log_4 x-1}\ge 1$$
Положим $$y=\log_4 x-1$$. Тогда $$\log_4 x=y+1$$ и $$\log_4 2{,}5=\log_4 \frac52$$.
Рассмотрим случаи.
1) Если $$y>0$$, то
$$\log_4 2{,}5 \ge y$$
$$\log_4 x-1 \le \log_4 2{,}5$$
$$\log_4 x \le \log_4 10$$
$$x\le 10$$
При этом $$y>0 \Rightarrow \log_4 x>1 \Rightarrow x>4$$.
2) Если $$y<0$$, то неравенство не выполняется.
Итак,
Ответ: $$(4;\,10]$$
б) $$9^x-6\cdot 3^x+8+\frac{1}{9^x-6\cdot 3^x+10}>0$$
Положим $$y=3^x$$, тогда $$9^x=y^2$$. Получаем:
$$y^2-6y+8+\frac{1}{y^2-6y+10}>0$$
$$\frac{(y^2-6y+8)(y^2-6y+10)+1}{y^2-6y+10}>0$$
Положим $$z=y^2-6y+9=(y-3)^2$$. Тогда $$y^2-6y+8=z-1$$, $$y^2-6y+10=z+1$$, и выражение сводится к
$$\frac{z^2+1}{z+1}>0$$
Так как $$z=(3^x-3)^2\ge 0$$, то $$z+1>0$$, а числитель положителен. Значит, неравенство выполняется при всех $$x$$, кроме случая, когда знаменатель исходной дроби равен нулю:
$$9^x-6\cdot 3^x+10\ne 0$$
Положим $$t=3^x$$. Тогда
$$t^2-6t+10=0$$
$$D=36-40=-4<0$$
Корней нет, значит ограничений нет.
Ответ: $$(-\infty;\,1)\cup(1;\,+\infty)$$
в) $$\left(2+\sqrt3\right)^{2x}-4\left(\frac{1}{2-\sqrt3}\right)^x+1\ge 0$$
Заметим, что
$$\frac{1}{2-\sqrt3}=2+\sqrt3$$
Тогда
$$\left(2+\sqrt3\right)^{2x}-4\left(2+\sqrt3\right)^x+1\ge 0$$
Положим $$y=\left(2+\sqrt3\right)^x$$. Получаем:
$$y^2-4y+1\ge 0$$
$$D=16-4=12$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}=2\pm \sqrt3$$
Так как $$2+\sqrt3>1$$, то
$$y\le 2-\sqrt3 \quad \text{или} \quad y\ge 2+\sqrt3$$
$$\left(2+\sqrt3\right)^x\le 2-\sqrt3 \Rightarrow x\le -1$$
$$\left(2+\sqrt3\right)^x\ge 2+\sqrt3 \Rightarrow x\ge 1$$
Ответ: $$(-\infty;\,-1]\cup[1;\,+\infty)$$
Ответ
1) а) $$(-\infty;\,-2]$$; б) $$(-\infty;\,+\infty)$$; в) $$(-\infty;\,-4)$$; г) $$[0{,}09;\,+\infty)$$; д) $$\left(-\frac12;\,13\right)$$; е) $$(-\infty;\,1)$$.
2) а) $$(-\infty;\,-1)\cup(-1;\,+\infty)$$; б) $$(-\infty;\,0]$$; в) $$(0{,}1;\,1000)$$; г) $$(0;\,0{,}5)\cup(4;\,+\infty)$$.
3) а) $$(4;\,10]$$; б) $$(-\infty;\,1)\cup(1;\,+\infty)$$; в) $$(-\infty;\,-1]\cup[1;\,+\infty)$$.
