Самостоятельная работа 21 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. а) (1/2)^x=8; б) 3^(2x+1)=27;
в) log(3; x)=2; г) log(1/3; 4x+1)=-2.
2. а) 9^(x+1)-9^x=72; б) log(3; x)-log(9; x)=2;
в) log(2; log(1/2; x))=1.
3. а) (lg(x))^2-2lg(x)=3; б) 2^(6x-1)-7·2^(3x-1)=4;
в) log(3; x)-log(x; 9)=1; г) log(4; 5x-4)-3/(log(4; 5x-4)-1)+1=0;
д) 4^x-6·4^(-x)=2,5.

1. а) $$\left(\frac12\right)^x=8$$

   $$2^{-x}=2^3$$

   $$-x=3,\quad x=-3.$$

   б) $$3^{2x+1}=27$$

   $$3^{2x+1}=3^3$$

   $$2x+1=3,\quad x=1.$$

   в) $$\log_3 x=2$$

   $$x=3^2=9.$$

   г) $$\log_{\frac13}(4x+1)=-2$$

   $$4x+1=\left(\frac13\right)^{-2}=9$$

   $$4x=8,\quad x=2.$$

2. а) $$9^{x+1}-9^x=72$$

   $$9\cdot 9^x-9^x=72$$

   $$8\cdot 9^x=72,\quad 9^x=9=9^1,\quad x=1.$$

   б) $$\log_3 x-\log_9 x=2$$

   $$\log_9 x=\frac12\log_3 x$$

   $$\log_3 x-\frac12\log_3 x=2$$

   $$\frac12\log_3 x=2,\quad \log_3 x=4,\quad x=3^4=81.$$

   в) $$\log_2\!\left(\log_{\frac12} x\right)=1$$

   $$\log_{\frac12} x=2$$

   $$x=\left(\frac12\right)^2=\frac14.$$

3. а) $$(\lg x)^2-2\lg x=3$$

   Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда

   $$y^2-2y-3=0$$

   $$D=16,\quad y_1=-1,\quad y_2=3.$$

   $$x=10^{-1}=0{,}1,\quad x=10^3=1000.$$

   б) $$2^{6x-1}-7\cdot 2^{3x-1}=4$$

   $$\frac12\cdot 8^{2x}-7\cdot \frac12\cdot 8^x=4$$

   Пусть $$y=8^x,\quad y>0.$$ Тогда

   $$y^2-7y-8=0$$

   $$D=81,\quad y_1=-1,\quad y_2=8.$$

   Так как $$y>0,$$ то $$y=8,$$ значит $$8^x=8,\quad x=1.$$

   в) $$\log_3 x-\log_x 9=1$$

   $$\log_x 9=\frac{\log_3 9}{\log_3 x}=\frac{2}{\log_3 x}$$

   Пусть $$y=\log_3 x.$$ Тогда

   $$y-\frac{2}{y}=1$$

   $$y^2-y-2=0$$

   $$D=9,\quad y_1=-1,\quad y_2=2.$$

   $$x=3^{-1}=\frac13,\quad x=3^2=9.$$

   г) $$\log_4(5x-4)-\frac{3}{\log_4(5x-4)-1}+1=0$$

   Пусть $$y=\log_4(5x-4),\quad y\ne 1.$$ Тогда

   $$y-\frac{3}{y-1}+1=0$$

   $$y(y-1)-3+y-1=0$$

   $$y^2-4=0,\quad y=\pm 2.$$

   Если $$y=2,$$ то

   $$\log_4(5x-4)=2,\quad 5x-4=16,\quad x=4.$$

   Если $$y=-2,$$ то

   $$\log_4(5x-4)=-2,\quad 5x-4=\frac1{16},\quad x=\frac{13}{80}.$$

   д) $$4^x-6\cdot 4^{-x}=2{,}5$$

   Пусть $$y=4^x,\quad y>0.$$ Тогда $$4^{-x}=\frac1y,$$ и

   $$y-\frac{6}{y}=2{,}5$$

   $$2y^2-5y-12=0$$

   $$D=121,\quad y_1=-\frac32,\quad y_2=4.$$

   Так как $$y>0,$$ то $$y=4,$$ значит $$4^x=4,\quad x=1.$$

Ответ

1) а) $$-3$$; б) $$1$$; в) $$9$$; г) $$2$$.

2) а) $$1$$; б) $$81$$; в) $$\frac14$$.

3) а) $$0{,}1;\ 1000$$; б) $$1$$; в) $$\frac13;\ 9$$; г) $$\frac{13}{80};\ 4$$; д) $$1$$.