Самостоятельная работа 20 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) log(a; M/N), где M > 0, N > 0;
б) log(a^?; M^?), где M > 0, ??R, ?/=0.
2. Вычислите:
а) log(3; 27); б) log(2; 1/4); в) lg(0,001);
г) log(0,5; 2); д) log(98; 1); е) ln(e^2005).
3. Вычислите:
а) log(12; 16)+log(12; 9); б) log(11; 363)-log(11; 3);
в) 7^log(7; 24); г) log(5; 64)/log(5; 4);
д) 16^log(4; 5-v5)+4^log(2; v5+5).
4. Вычислите v((log(3; 4)+9log(4; 3)-6)·log(4; 3))+log(4; 64/27).
5. Сравните числа:
а) log(5; 8) и log(4; 3); б) log(0,5; 7) и log(0,5; 9);
в) log(3; 6) и log(4; 6); г) log(3; 2) и log(4; 3).
6. Докажите иррациональность числа log(4; 3).

1. Применим свойства логарифмов:

   $$\log_a \frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N,$$
   $$\log_{a^\alpha} M^\alpha=\log_a M,\quad M>0,\ \alpha\in \mathbb{R},\ \alpha\ne 0.$$

2. Вычислим значения:

   $$\log_3 27=\log_3 3^3=3,$$
   $$\log_2 \frac14=\log_2 2^{-2}=-2,$$
   $$\lg 0{,}001=\lg 10^{-3}=-3,$$
   $$\log_{0{,}5} 2=\log_{\frac12} \left(\frac12\right)^{-1}=-1,$$
   $$\log_{98} 1=\log_{98} 98^0=0,$$
   $$\ln e^{2005}=2005.$$

3. Вычислим:

   $$\log_{12}16+\log_{12}9=\log_{12}(16\cdot 9)=\log_{12}144=2,$$
   $$\log_{11}363-\log_{11}3=\log_{11}\left(\frac{363}{3}\right)=\log_{11}121=2,$$
   $$7^{\log_7 24}=24,$$
   $$\frac{\log_5 64}{\log_5 4}=\log_4 64=\log_4 4^3=3.$$

   Для последнего выражения:
   $$16^{\log_4(5-\sqrt5)}+4^{\log_2(\sqrt5+5)}.$$
   Так как $$16=4^2$$ и $$4=2^2,$$ то
   $$16^{\log_4(5-\sqrt5)}=(4^2)^{\log_4(5-\sqrt5)}=(5-\sqrt5)^2,$$
   $$4^{\log_2(\sqrt5+5)}=(2^2)^{\log_2(\sqrt5+5)}=(\sqrt5+5)^2.$$
   Тогда
   $$S=(5-\sqrt5)^2+(\sqrt5+5)^2=50+10=60.$$

4. $$S=\sqrt{\bigl(\log_3 4+9\log_4 3-6\bigr)\cdot \log_4 3}+\log_4 \frac{64}{27}.$$
   Обозначим $$x=\log_4 3.$$ Тогда $$\log_3 4=\frac1x,$$ и
   $$\log_4 \frac{64}{27}=\log_4 64-\log_4 27=3-3\log_4 3=3-3x.$$
   Получаем:
   $$S=\sqrt{\left(\frac1x+9x-6\right)x}+3-3x=\sqrt{1+9x^2-6x}+3-3x.$$
   Тогда
   $$S=\sqrt{(3x-1)^2}+3-3x=|3x-1|+3-3x.$$
   Так как $$x=\log_4 3>\frac13,$$ то $$|3x-1|=3x-1,$$ и
   $$S=3x-1+3-3x=2.$$

5. Сравним числа:

   а) $$\log_5 8>1,$$ а $$\log_4 3<1,$$ значит
   $$\log_5 8>\log_4 3.$$

   б) Основание $$0{,}5<1,$$ поэтому при большем аргументе логарифм меньше:
   $$7<9 \Rightarrow \log_{0{,}5} 7>\log_{0{,}5} 9.$$

   в) $$\log_3 6=\frac1{\log_6 3},\qquad \log_4 6=\frac1{\log_6 4}.$$
   Так как $$3<4,$$ то $$\log_6 3<\log_6 4,$$ значит
   $$\frac1{\log_6 3}>\frac1{\log_6 4},$$ то есть
   $$\log_3 6>\log_4 6.$$

   г) $$3\log_3 2=\log_3 2^3=\log_3 8,$$
   $$3\log_4 3=\log_4 3^3=\log_4 27.$$
   Так как $$8<27,$$ то $$\log_3 8<2$$ и $$\log_4 27>2,$$ следовательно
   $$\log_3 2<\log_4 3.$$

6. Докажем иррациональность числа $$\log_4 3.$$

   Предположим, что $$\log_4 3=\frac{p}{q},$$ где $$p,q\in \mathbb{Z},\ q>0,$$ и дробь несократима. Тогда

   $$4^{p/q}=3,$$
   $$4^p=3^q.$$

   Левая часть делится только на $$2,$$ а правая — только на $$3,$$ что невозможно. Противоречие. Значит, $$\log_4 3$$ иррационально.

Ответ

1) $$\log_a \frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N,$quad \log_{a^\alpha} M^\alpha=\log_a M.$$
2) а) $$3$$; б) $$-2$$; в) $$-3$$; г) $$-1$$; д) $$0$$; е) $$2005$$.
3) а) $$2$$; б) $$2$$; в) $$24$$; г) $$3$$; д) $$60$$.
4) $$2$$.
5) а) $$\log_5 8>\log_4 3$$; б) $$\log_{0{,}5} 7>\log_{0{,}5} 9$$; в) $$\log_3 6>\log_4 6$$; г) $$\log_3 2<\log_4 3$$.
6) $$\log_4 3$$ — иррациональное число.