Контрольная работа 1 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
2. Решите уравнение (2x+4)/(x^2-x)-(x-4)/(x^2+x)=0.
3. Решите неравенство:
а) (x-2)(x-4)/(x+3) < 0;
б) (x^2-8x+16)/(x^2-3x-10)?0.
4*. а) Упростите выражение (1/(n^2-n)-1/(n^2+n)):(n-2)/(n^2-1).
б) Найдите значение полученного выражения при n=-1.
5*. Докажите справедливость неравенства:
а) x^2+y^2-4x+2y+5?0;
б) x^4-5x^2-2x+11 > 0;
в) x^2-2x+1/(x^2-2x+2)?0.
6*. Решите уравнение x^4+x^3-8x^2-9x-9=0.
7*. К двузначному числу приписали цифру 4 сначала справа, потом слева, получились два числа, разность которых равна 432. Найдите это двузначное число.
$$\left(\frac{6a}{a^2-b^2}-\frac{2}{a+b}+\frac{3}{b-a}\right):\frac{1}{4a+4b}$$
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b), \quad b-a=-(a-b)$$
$$\frac{6a}{(a-b)(a+b)}-\frac{2(a-b)}{(a-b)(a+b)}-\frac{3(a+b)}{(a-b)(a+b)}$$
$$=\frac{6a-2(a-b)-3(a+b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{a-b}{(a-b)(a+b)}=\frac{1}{a+b}$$
$$\frac{1}{a+b}:\frac{1}{4a+4b}=\frac{1}{a+b}\cdot(4a+4b)=4$$
$$\frac{2x+4}{x^2-x}-\frac{x-4}{x^2+x}=0$$
$$\frac{2x+4}{x(x-1)}-\frac{x-4}{x(x+1)}=0$$
$$\frac{(2x+4)(x+1)-(x-4)(x-1)}{x(x-1)(x+1)}=0$$
$$2x^2+6x+4-(x^2-5x+4)=0$$
$$x^2+11x=0$$
$$x(x+11)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-11$$
С учётом ОДЗ: $$x\ne -1,\,0,\,1$$, поэтому подходит только $$x=-11$$.
а) $$\frac{(x-2)(x-4)}{x+3}<0$$
Критические точки: $$x=-3,\;2,\;4$$.
Знак выражения отрицателен на промежутках
$$(-\infty;-3)\cup(2;4)$$
б) $$\frac{x^2-8x+16}{x^2-3x-10}\ge 0$$
$$\frac{(x-4)^2}{(x-5)(x+2)}\ge 0$$
Так как числитель неотрицателен и равен нулю при $$x=4$$, получаем
$$(-\infty;-2)\cup\{4\}\cup(5;+\infty)$$
а) $$\left(\frac{1}{n^2-n}-\frac{1}{n^2+n}\right):\frac{n-2}{n^2-1}$$
$$\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{n(n+1)}=\frac{(n+1)-(n-1)}{n(n-1)(n+1)}=\frac{2}{n(n^2-1)}$$
$$\frac{2}{n(n^2-1)}:\frac{n-2}{n^2-1}=\frac{2}{n(n^2-1)}\cdot\frac{n^2-1}{n-2}=\frac{2}{n(n-2)}$$
б) При $$n=-1$$:
$$\frac{2}{n(n-2)}=\frac{2}{(-1)(-3)}=\frac{2}{3}$$
а) $$x^2+y^2-4x+2y+5\ge 0$$
$$x^2-4x+4+y^2+2y+1\ge 0$$
$$ (x-2)^2+(y+1)^2\ge 0$$
Верно при любых $$x,y$$.
б) $$x^4-5x^2-2x+11>0$$
$$x^4-6x^2+9+x^2-2x+1+1>0$$
$$ (x^2-3)^2+(x-1)^2+1>0$$
Верно при любых $$x$$.
в) $$x^2-2x+\frac{1}{x^2-2x+2}\ge 0$$
Положим $$t=x^2-2x$$. Тогда
$$t+\frac{1}{t+2}\ge 0$$
$$\frac{t(t+2)+1}{t+2}\ge 0$$
$$\frac{(t+1)^2}{t+2}\ge 0$$
Так как $$t+2=x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0$$, то неравенство верно при любых $$x$$.
$$x^4+x^3-8x^2-9x-9=0$$
$$x^4-9x^2+x^2-9+x^3-9x=0$$
$$x^2(x^2-9)+(x^2-9)+x(x^2-9)=0$$
$$ (x^2+x+1)(x^2-9)=0$$
$$x^2-9=0$$
$$x=\pm 3$$
Пусть двузначное число равно $$10x+4$$, тогда число с приписанной слева цифрой 4 равно $$400+x$$.
По условию:
$$ (400+x)-(10x+4)=432$$
$$396-9x=432$$
$$-9x=36$$
$$x=-4$$
Такого двузначного числа не существует, значит в условии должна быть разность в обратном порядке:
$$ (10x+4)-(400+x)=432$$
$$9x-396=432$$
$$9x=828$$
$$x=92$$
Искомое число: $$92$$.
Ответ
1) $$4$$; 2) $$-11$$; 3) а) $$(-\infty;-3)\cup(2;4)$$, б) $$(-\infty;-2)\cup\{4\}\cup(5;+\infty)$$; 4) а) $$\frac{2}{n(n-2)}$$, б) $$\frac{2}{3}$$; 5) а) верно при любых $$x,y$$, б) верно при любых $$x$$, в) верно при любых $$x$$; 6) $$-3,\,3$$; 7) $$92$$.
