Самостоятельная работа 10 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. Разложите по формуле бинома Ньютона: а) $$(x+1)^5$$; б) $$(x-3)^4$$.
2. Вычислите коэффициент при $$a^3$$ в разложении выражения $$(a+\frac{1}{a})^9$$ по формуле бинома Ньютона.
3. Вычислите сумму коэффициентов $$C(10;0)+C(10;1)+C(10;2)+C(10;3)+\ldots+C(10;10)$$.
4. Сколько рациональных членов содержит разложение $$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{102}$$ по формуле бинома Ньютона?

1. По формуле бинома Ньютона:

   $$(x+1)^5=x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1,$$

   $$(x-3)^4=x^4-12x^3+54x^2-108x+81.$$

2. Найдём коэффициент при $$a^3$$ в разложении $$\left(a+\frac{1}{a}\right)^9$$.

   Общий член разложения:
   $$C_9^k a^{9-k}\left(\frac{1}{a}\right)^k=C_9^k a^{9-2k}.$$

   Требуемая степень:
   $$9-2k=3,\quad k=3.$$

   Тогда коэффициент равен
   $$C_9^3=\frac{9!}{3!\,6!}=84.$$

3. Сумма коэффициентов:

   $$C_{10}^0+C_{10}^1+C_{10}^2+\cdots+C_{10}^{10}=(1+1)^{10}=2^{10}=1024.$$

4. Рассмотрим разложение $$\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)^{102}$$.

   Общий член имеет вид
   $$A_k=C_{102}^k(\sqrt{5})^{102-k}(\sqrt{2})^k.$$

   Чтобы член был рациональным, показатели корней должны быть чётными:
   $$102-k \text{ — чётное}, \quad k \text{ — чётное}.$$

   Значит, подходят все чётные значения $$k$$ от $$0$$ до $$102$$. Их количество:
   $$\frac{102}{2}+1=52.$$

Ответ

1) $$x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$$; $$x^4-12x^3+54x^2-108x+81$$;
2) $$84$$;
3) $$1024$$;
4) $$52$$.