Самостоятельная работа 19 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

б) Чему равен (n > +?)lim(x_n)?
2. Пользуясь свойствами пределов, вычислите предел:
а) (n > +?)lim((2n+5)/n); б) (n > +?)lim((5n^2-2n+3)/(2n^2+3n+2));
в) (n > +?)lim((2n^3+n-1)/(n^3+4n+2)); г) (n > +?)lim((2n^2-5n+3)/(n^3+6n+11));
д) (n > +?)lim(v(n^2+1)-v(n^2+2n)); е) (n > +?)lim(1+1/n)^(2n).
3. а) Докажите, что переменная x_n=3+2n является бесконечно большой, пользуясь определением бесконечно большой (на языке «М-N»).
б) Чему равен (n > +?)lim(x_n)?

1. а) $$x_n=\frac{4n-5}{n}=4-\frac{5}{n}.$$

   Здесь $$4$$ — число, а $$-\frac{5}{n}$$ — бесконечно малая при $$n\to+\infty$$.

   б) $$\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(4-\frac{5}{n}\right)=4.$$

2. а) $$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{2n+5}{n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(2+\frac{5}{n}\right)=2.$$

   б) $$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{5n^2-2n+3}{2n^2+3n+2}=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{5-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}{2+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}=\frac{5}{2}.$$

   в) $$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{2n^3+n-1}{n^3+4n+2}=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{2+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}}{1+\frac{4}{n^2}+\frac{2}{n^3}}=2.$$

   г) $$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{2n^2-5n+3}{n^3+6n+11}=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\frac{2}{n}-\frac{5}{n^2}+\frac{3}{n^3}}{1+\frac{6}{n^2}+\frac{11}{n^3}}=0.$$

   д) $$\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+2n}\right)=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{(n^2+1)-(n^2+2n)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+2n}}$$

   $$=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1-2n}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+2n}}=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\frac{1}{n}-2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{2}{n}}}=-1.$$

   е) $$\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}=\left(\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^2=e^2.$$

3. а) Для любого $$M>0$$ найдём $$N$$ так, чтобы при $$n>N$$ выполнялось $$|x_n|>M$$.

   Имеем $$x_n=3+2n$$, поэтому

   $$|x_n|=|3+2n|=3+2n.$$

   Достаточно потребовать

   $$3+2n>M,\qquad n>\frac{M-3}{2}.$$

   Пусть $$N=\frac{M-3}{2}$$. Тогда при $$n>N$$ выполняется $$|x_n|>M$$, значит, последовательность $$x_n=3+2n$$ является бесконечно большой.

   б) Следовательно,

   $$\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=+\infty.$$

Ответ

1) а) $$x_n=4-\frac{5}{n}$$; б) $$4$$.
2) а) $$2$$; б) $$\frac{5}{2}$$; в) $$2$$; г) $$0$$; д) $$-1$$; е) $$e^2$$.
3) $$x_n=3+2n$$ — бесконечно большая последовательность; $$\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=+\infty$$.