Самостоятельная работа 17 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Сравните числа 2004^(1/4)-2003^(1/3) и 2002^(1/4)-2007^(1/3).
3. Докажите, что функция y=(1-4x)^(1/3) убывающая.
4. Решите уравнение (5x-2)^(1/3)+v(5+2x)=(129-2x)^(1/3).

1. Сравним числа, возведя их в общую степень $$12$$:

   $$\sqrt[3]{9}=\sqrt[12]{9^4}=\sqrt[12]{6561}, \qquad \sqrt[4]{19}=\sqrt[12]{19^3}=\sqrt[12]{6859}.$$

   Так как $$6561<6859,$$ то

   $$\sqrt[3]{9}<\sqrt[4]{19}.$$

2. Сравним выражения:

   $$\sqrt[4]{2004}-\sqrt[3]{2003} \quad \text{и} \quad \sqrt[4]{2002}-\sqrt[3]{2007}.$$

   Имеем:

   $$\sqrt[4]{2004}>\sqrt[4]{2002}, \qquad \sqrt[3]{2003}>\sqrt[3]{2007}.$$

   Следовательно,

   $$\sqrt[4]{2004}-\sqrt[3]{2003}>\sqrt[4]{2002}-\sqrt[3]{2007}.$$

3. Рассмотрим функцию

   $$y=\sqrt[3]{1-4x}.$$

   Если $$x_2>x_1,$$ то

   $$1-4x_2<1-4x_1.$$

   Так как функция $$\sqrt[3]{t}$$ возрастает, то

   $$\sqrt[3]{1-4x_2}<\sqrt[3]{1-4x_1},$$

   то есть $$y_2<y_1.$$ Значит, функция $$y=\sqrt[3]{1-4x}$$ убывает.

4. Решим уравнение

   $$\sqrt[3]{5x-2}+\sqrt{5+2x}=\sqrt[3]{129-2x}.$$

   Рассмотрим функции

   $$f(x)=\sqrt[3]{5x-2}+\sqrt{5+2x}, \qquad g(x)=\sqrt[3]{129-2x}.$$

   Функция $$g(x)$$ убывает, а функция $$f(x)$$ возрастает на области определения. Значит, корень может быть только один.

   Проверим $$x=2$$:

   $$f(2)=\sqrt[3]{5\cdot 2-2}+\sqrt{5+2\cdot 2}=\sqrt[3]{8}+\sqrt{9}=2+3=5,$$

   $$g(2)=\sqrt[3]{129-2\cdot 2}=\sqrt[3]{125}=5.$$

   Следовательно, $$x=2$$ — решение уравнения.

Ответ

1) $$\sqrt[3]{9}<\sqrt[4]{19}$$;
2) $$\sqrt[4]{2004}-\sqrt[3]{2003}>\sqrt[4]{2002}-\sqrt[3]{2007}$$;
3) функция $$y=\sqrt[3]{1-4x}$$ убывает;
4) $$x=2$$.