Самостоятельная работа 23 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$125\cdot 3^x-27\cdot 5^x=0$$; б) $$3^{x+1}-3^{x-1}=2^{4-x}$$; в) $$27\cdot 4^x+8\cdot 9^x=30\cdot 6^x$$.
2. Решите неравенство: а) $$3^{x-1}>3\cdot 5^{x-2}$$; б) $$2^{x+3}-2^{x+2}<3^{x+2}$$; в) $$4\cdot 9^x-13\cdot 6^x+9\cdot 4^x<0$$.

1. а) $$125\cdot 3^x-27\cdot 5^x=0$$

   $$125\cdot 3^x=27\cdot 5^x$$

   $$\left(\frac{5}{3}\right)^x=\frac{125}{27}=\left(\frac{5}{3}\right)^3$$

   Следовательно, $$x=3$$.

   б) $$3^{x+1}-3^{x-1}=2^{4-x}$$

   $$3\cdot 3^x-\frac{1}{3}\cdot 3^x=16\cdot 2^{-x}$$

   $$\frac{8}{3}\cdot 3^x=\frac{16}{2^x}$$

   $$6^x=6$$

   Отсюда $$x=1$$.

   в) $$27\cdot 4^x+8\cdot 9^x=30\cdot 6^x$$

   $$27\cdot 4^x-30\cdot 6^x+8\cdot 9^x=0$$

   $$27\left(\frac{4}{9}\right)^x-30\left(\frac{2}{3}\right)^x+8=0$$

   Положим $$y=\left(\frac{2}{3}\right)^x$$, тогда $$\left(\frac{4}{9}\right)^x=y^2$$. Получаем:

   $$27y^2-30y+8=0$$

   $$D=30^2-4\cdot 27\cdot 8=36$$

   $$y_1=\frac{30-6}{2\cdot 27}=\frac{4}{9}, \qquad y_2=\frac{30+6}{2\cdot 27}=\frac{2}{3}$$

   Тогда:

   $$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{4}{9}=\left(\frac{2}{3}\right)^2 \Rightarrow x=2$$

   $$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{2}{3}=\left(\frac{2}{3}\right)^1 \Rightarrow x=1$$

2. а) $$3^{x-1}>3\cdot 5^{x-2}$$

   $$\frac{1}{3}\cdot 3^x>\frac{3}{25}\cdot 5^x$$

   $$\left(\frac{5}{3}\right)^x<\frac{25}{9}=\left(\frac{5}{3}\right)^2$$

   Так как основание $$\frac{5}{3}>1$$, то $$x<2$$.

   б) $$2^{x+3}-2^{x+2}<3^{x+2}$$

   $$8\cdot 2^x-4\cdot 2^x<9\cdot 3^x$$

   $$4\cdot 2^x<9\cdot 3^x$$

   $$\frac{3^x}{2^x}>\frac{4}{9}$$

   $$\left(\frac{3}{2}\right)^x>\left(\frac{3}{2}\right)^{-2}$$

   Следовательно, $$x>-2$$.

   в) $$4\cdot 9^x-13\cdot 6^x+9\cdot 4^x<0$$

   $$4\left(\frac{9}{4}\right)^x-13\left(\frac{3}{2}\right)^x+9<0$$

   Положим $$y=\left(\frac{3}{2}\right)^x$$, тогда $$\left(\frac{9}{4}\right)^x=y^2$$. Получаем:

   $$4y^2-13y+9<0$$

   $$D=13^2-4\cdot 4\cdot 9=25$$

   $$y_1=\frac{13-5}{8}=1, \qquad y_2=\frac{13+5}{8}=\frac{9}{4}$$

   Так как коэффициент при $$y^2$$ положителен, то:

   $$1

   $$1<\left(\frac{3}{2}\right)^x<\frac{9}{4}$$

   $$\left(\frac{3}{2}\right)^0<\left(\frac{3}{2}\right)^x<\left(\frac{3}{2}\right)^2$$

   Отсюда $$0

Ответ

1) а) $$3$$; б) $$1$$; в) $$1, 2$$.

2) а) $$(-\infty; 2)$$; б) $$(-2; +\infty)$$; в) $$(0; 2)$$.