Самостоятельная работа 15 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение x^2+(a-1)x+4=0 имеет два различных корня, меньших -1.
3. Найдите все значения а, при каждом из которых не имеет решений система неравенств {x^2-(6a+7)x+9a^2+21a?0, |3x-5a|?2}.
4. Найдите все значения а, при каждом из которых один из корней уравнения x^2+(3a-3)x+2a^2-2a-4=0 отрицательный, а другой заключен между числами 1 и 2.

1. Чтобы неравенство $$x^2+(3a-1)x+a>0$$ было верно при любом действительном $$x$$, квадратный трёхчлен должен быть положительным для всех $$x$$. Так как старший коэффициент равен $$1>0$$, нужно, чтобы дискриминант был отрицателен:

   $$D=(3a-1)^2-4a<0$$

   $$9a^2-6a+1-4a<0$$

   $$9a^2-10a+1<0$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D_1=100-36=64$$

   $$a_{1,2}=\frac{10\pm 8}{18}$$

   $$a_1=\frac19,\quad a_2=1$$

   Тогда

   $$9\left(a-\frac19\right)(a-1)<0$$

   Следовательно,

   $$\frac19<a<1$$

2. Уравнение $$x^2+(a-1)x+4=0$$ имеет два различных корня, меньших $$-1$$.

   Для этого нужно:

   1) $$D>0$$;

   2) значение многочлена при $$x=-1$$ положительно;

   3) ось симметрии левее точки $$-1$$, то есть $$x_0<-1$$.

   1) $$D=(a-1)^2-16>0$$

   $$a^2-2a-15>0$$

   $$ (a-5)(a+3)>0 $$

   $$a<-3 \quad \text{или} \quad a>5$$

   2) $$f(-1)=1-(a-1)+4=6-a>0$$, значит $$a<6$$.

   3) $$x_0=-\frac{a-1}{2}<-1$$

   $$a-1>2$$

   $$a>3$$

   Пересечение условий:

   $$a>5$$

3. Система не имеет решений:

   $$ \begin{cases} x^2-(6a+7)x+9a^2+21a\ge 0,\\ |3x-5a|\le 2 \end{cases} $$

   Рассмотрим первое неравенство. Его дискриминант:

   $$D=(6a+7)^2-4(9a^2+21a)=49$$

   Корни:

   $$x_1=\frac{6a+7-7}{2}=3a,\qquad x_2=\frac{6a+7+7}{2}=3a+7$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то

   $$x\le 3a \quad \text{или} \quad x\ge 3a+7$$

   Второе неравенство равносильно:

   $$-2\le 3x-5a\le 2$$

   $$\frac{5a-2}{3}\le x\le \frac{5a+2}{3}$$

   Чтобы система не имела решений, отрезок $$\left[\frac{5a-2}{3},\frac{5a+2}{3}\right]$$ должен целиком лежать между корнями $$3a$$ и $$3a+7$$, то есть:

   $$3a+7<\frac{5a-2}{3}$$

   или

   $$\frac{5a+2}{3}<3a$$

   Из первого:

   $$9a+21<5a-2$$

   $$4a<-23$$

   $$a<-\frac{23}{4}$$

   Из второго:

   $$5a+2<9a$$

   $$2<4a$$

   $$a>\frac12$$

   Следовательно,

   $$a<-\frac{23}{4}\quad \text{или} \quad a>\frac12$$

4. Рассмотрим уравнение

   $$x^2+(3a-3)x+2a^2-2a-4=0$$

   Найдём корни:

   $$D=(3a-3)^2-4(2a^2-2a-4)$$

   $$D=9a^2-18a+9-8a^2+8a+16=(a-5)^2$$

   Тогда

   $$x_{1,2}=\frac{3-3a\pm (a-5)}{2}$$

   $$x_1=-2a+4,\qquad x_2=-a-1$$

   Один корень отрицательный, а другой лежит между $$1$$ и $$2$$.

   Случай 1: $$-2a+4<0$$, а $$1<-a-1<2$$.

   $$a>2$$

   $$1<-a-1<2$$

   $$2<-a<3$$

   $$-3<a<-2$$

   Совместных значений нет.

   Случай 2: $$-a-1<0$$, а $$1<-2a+4<2$$.

   $$a>-1$$

   $$1<-2a+4<2$$

   $$-3<-2a<-2$$

   $$1<a<\frac32$$

   С учётом $$a>-1$$ получаем:

   $$1<a<\frac32$$

Ответ

1) $$\frac19<a<1$$; 2) $$a>5$$; 3) $$a<-\frac{23}{4}$$ или $$a>\frac12$$; 4) $$1<a<\frac32$$.