Самостоятельная работа 14 Вариант 2 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) 3v(x-4)=14-x;
б) (vx-2)/(vx+2)-(vx+1)/vx=-3;
в) v((x-1)/x)+2v(x/(x-1))-3=0.
2. Решите неравенство:
а) v(2x+1) > 2x-1;
б) (2x+3)/(3x-2)-v((2x+3)/(3x-2))-12?0;
в) v((2x-5)/(x+1))-6v((x+1)/(2x-5))-1?0.

1. а) $$3\sqrt{x-4}=14-x.$$

   Положим $$y=x-4,$$ тогда $$x=y+4$$ и получаем

   $$3\sqrt{y}=10-y.$$

   Обозначим $$t=\sqrt{y},\quad t\ge 0.$$ Тогда $$y=t^2,$$ и уравнение принимает вид

   $$3t=10-t^2,$$

   $$t^2+3t-10=0,$$

   $$D=3^2+4\cdot 10=49,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-3\pm 7}{2}.$$

   Получаем $$t_1=-5$$ и $$t_2=2.$$ Так как $$t\ge 0,$$ подходит только $$t=2.$$

   Тогда $$y=t^2=4,$$ значит

   $$x=y+4=8.$$

2. б) $$\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=-3.$$

   Положим $$y=\sqrt{x},\quad y\ge 0.$$ Тогда

   $$\frac{y-2}{y+2}-\frac{y+1}{y}=-3.$$

   Умножим на $$y(y+2):$$

   $$y(y-2)-(y+1)(y+2)=-3y(y+2).$$

   $$y^2-2y-(y^2+3y+2)=-3y^2-6y,$$

   $$5y+2=3y^2+6y,$$

   $$3y^2+y-2=0.$$

   $$D=1+24=25,$$

   $$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{6}.$$

   Получаем $$y_1=-1,$$ $$y_2=\frac{2}{3}.$$ С учётом $$y\ge 0$$ подходит только $$y=\frac{2}{3}.$$

   Тогда

   $$x=y^2=\frac{4}{9}.$$

3. в) $$\sqrt{\frac{x-1}{x}}+2\sqrt{\frac{x}{x-1}}-3=0.$$

   Положим

   $$y=\sqrt{\frac{x-1}{x}},\quad y>0.$$

   Тогда

   $$\sqrt{\frac{x}{x-1}}=\frac{1}{y},$$

   и уравнение становится

   $$y+\frac{2}{y}-3=0.$$

   Умножим на $$y$$:

   $$y^2-3y+2=0,$$

   $$D=9-8=1,$$

   $$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}.$$

   Получаем $$y_1=1,$$ $$y_2=2.$$

   1) Если $$y=1,$$ то

   $$\frac{x-1}{x}=1,$$

   $$x-1=x,$$

   что невозможно.

   2) Если $$y=2,$$ то

   $$\frac{x-1}{x}=4,$$

   $$x-1=4x,$$

   $$-3x=1,$$

   $$x=-\frac{1}{3}.$$

4. а) $$\sqrt{2x+1}>2x-1.$$

   Положим $$y=2x+1,$$ тогда $$2x-1=y-2.$$ Получаем

   $$\sqrt{y}>y-2.$$

   Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt{y}=y-2.$$

   Пусть $$t=\sqrt{y},\quad t\ge 0.$$ Тогда

   $$t=t^2-2,$$

   $$t^2-t-2=0,$$

   $$D=9,$$

   $$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$

   Получаем $$t_1=-1,$$ $$t_2=2.$$ Значит, $$\sqrt{y}>y-2$$ при $$0\le y<4.$$

   Возвращаясь к $$x,$$ имеем

   $$0\le 2x+1<4,$$

   $$x\ge -\frac{1}{2},\quad x<\frac{3}{2}.$$

5. б) $$\frac{2x+3}{3x-2}-\sqrt{\frac{2x+3}{3x-2}}-12\ge 0.$$

   Положим

   $$y=\sqrt{\frac{2x+3}{3x-2}},\quad y\ge 0.$$

   Тогда

   $$y^2-y-12\ge 0,$$

   $$ (y+3)(y-4)\ge 0.$$

   С учётом $$y\ge 0$$ получаем $$y\ge 4.$$ Значит,

   $$\sqrt{\frac{2x+3}{3x-2}}\ge 4,$$

   $$\frac{2x+3}{3x-2}\ge 16.$$

   Решаем неравенство:

   $$2x+3\ge 16(3x-2),$$

   $$2x+3\ge 48x-32,$$

   $$46x\le 35.$$

   С учётом области определения и знака знаменателя получаем

   $$\frac{2}{3}<x\le \frac{35}{46}.$$

6. в) $$\sqrt{\frac{2x-5}{x+1}}-6\sqrt{\frac{x+1}{2x-5}}-1\ge 0.$$

   Положим

   $$y=\sqrt{\frac{2x-5}{x+1}},\quad y>0.$$

   Тогда

   $$\sqrt{\frac{x+1}{2x-5}}=\frac{1}{y},$$

   и неравенство принимает вид

   $$y-\frac{6}{y}-1\ge 0.$$

   Умножим на $$y>0$$:

   $$y^2-y-6\ge 0,$$

   $$ (y+2)(y-3)\ge 0.$$

   С учётом $$y>0$$ получаем $$y\ge 3.$$ Тогда

   $$\sqrt{\frac{2x-5}{x+1}}\ge 3,$$

   $$\frac{2x-5}{x+1}\ge 9.$$

   Решаем:

   $$2x-5\ge 9(x+1),$$

   $$2x-5\ge 9x+9,$$

   $$-7x\ge 14,$$

   $$x\le -2.$$

   С учётом области определения получаем

   $$[-2;\,-1).$$

Ответ

1) а) $$8$$; б) $$\frac{4}{9}$$; в) $$-\frac{1}{3}$$.

2) а) $$\left[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$$; б) $$\left(\frac{2}{3};\frac{35}{46}\right]$$; в) $$[-2;-1)$$.